计算机四级考试辅导：计算机离散数学习题五

 

5.1  题5.1—5.6是填充题，题目要求是从供选择的答案中选出应填入叙述中的□内的正确答案。

设 ，则 上可以定义A个二元运算，其中有4个运算 ，其运算如表5.1所示：表5.1

a

b

a

b

a

b

a

b

a

a

A

a

a

b

a

b

a

a

a

b

b

a

a

b

b

a

b

a

a

b

a

b

                                                    

则只有B满足交换律，C满足幂等律，D有幺元，E有零元。

供选择的答案

A：①4；②8；③16；④2。

B，C，D，E：

⑤ 和 ；⑥ 和 ；⑦ 和 ；⑧ ；⑨ ；⑩ 。

5.2  设 ，其中 为有理数集合，定义S上的二元运*， 有 ，

则（1） A， B。

（2） 是C。

（3） 的幺元是D。

（4） E。

供选择的答案

A，B：

① ；② ；③ 。

C：④可交换的；⑤可结合的；⑥不是可换交也不是可结合的。

D：⑦ ；⑧ 。

E：⑨只有唯一的逆元。⑩ 时，元素 有逆元。

5.3  R为实数集，定义以下6个函数 有

，

，

，

，

那么，其中有A个是R上的二元运算，有B个是可交换的，C个是可结合的，D个是有幺元，E个有零元的。

供选择的答案

A，B，C，D，E：

①0；②1；③2；④3；⑤4；⑥5；⑦6。

5.4  （1）设 ，其中+和·分别表示普通加法和乘法，则V有A个不同的子代数，且这些子代数B。

（2）令 ，则 是 的C。

（3）令 ，则 不是V的子代数，其原因是 D。

（4）令 ，则 不是V的子代数，其原因是 E。

供选择的答案

A：①有限；②无限；

B：③含有有限个元素；④含有无限个元素；⑤有的含有有限个元素；有的含有无限个元素。

C：⑥平凡的子代数；⑦非平凡的子代数。

D，E：⑧对加法不封闭；⑨对乘法不封闭；⑩对加法和乘法都不封闭。

5.5  设 ，其中·为普通乘法，对任意 令 ， ， ， ，则其中A个是 的自同态，它们是B，有C个是单自同态而不是满自同态，D个是满自同态而不是单自同态，E个是自同构。

供选择的答案有：

A，C，D，E：

①0；②1；③2；④3；⑤4；⑥5。

B：⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩

5.7  设 ，问下面定义的二元运算*是否为S上的二元运算？

（1） 与 的最大公约数。

（2） 与 的最小公倍数。

（3） 大于等于 的最小整数。

（4） 。

（5） 质数 的个数，其中 。

5.8  下面各集合都是N的子集，它们在普通加法运算上是否封增长？

（1）{ 的其次幂可以被16整除}。

（2）{ 与5互质}。

（3）{ 是30的因子}。

（4）{ 是30的倍数}。

5.9  设 ，其中 的运算表分别给定如下：

(1)

*

a

b

C

(2)

*

a

b

c

(3)

*

a

b

c

a

a

b

C

a

a

b

C

a

a

b

C

b

b

c

A

b

a

b

c

b

b

b

c

c

c

a

B

c

a

b

c

c

c

c

c

分别对以上每种情况讨论*运算的可交换性、幂等性，是否含有幺元以及S中的元素是否含有逆元.

5.10 设 ,其中模3加法,*表示模2乘法,试构造积代数 的运算表,并指出积代数的幺元。

5.11  设代数系统 ，其中 有 与 的最大公约数， 与 的最小公倍数， ，给出关于 和 运算的运算表。

5.12  设 是代数系统，其中 为非零实数的集合，分别地下述小题讨论 运算是否可交换、可结合，并求幺元和所有可逆元素的逆元。

（1）

（2） 。

（3） 。

5.13  设 为代数系统，其中 ， 。

（1）列出*的运算表。

（2）*是否有零元和幺元和所有可逆元素的逆元。

5.14   设 。其中 表示函数的合成，试给出 的运算表，并求出 的幺元和所有可逆元的逆元。

5.15   设 。在A上定义6个函数如下：

。

，其中 ， 为函数的复合。

（1）给出 的运算表。

（2）说明 的幺元和所有可逆元素的逆元。