计算机四级考试辅导：计算机离散数学习题六

 

 

题6.1—6.3是填充题，题目要求是从供选择的答案中选出应填入叙述中的□内的正确答案。

6.1  对以下定义的集合和运算判别它们能否构成代数系统？如果能，请说明是构成哪一种代数系统？

（1） ，+为普通加法，则 是A。

（2） 为普通乘法，则 是B。

（3） 为任意给定的正整数且 为模 乘法， 为模 加法，则 是C。

（4） 为小于等于关系，则 是D。

（5） 为矩阵加法，则 是E。

供选择的答案

A，B，C，D，E：

①半群，不是独异点；②独异点，不是群；③群；④环，不一定是域；⑤域；⑥格，不是布尔代数；⑦布尔代数；⑧代数系统，但不是以上7种；⑨不是代数系统。

6.2  （1）设 ，若⊙为模4乘法，则< ⊙>构成A。

（2）若 为模4加法，则< >是B阶群，且是C，G中的2阶元是D，4阶元是E。

供选择的答案：

A：①群；②半群，不是群。

B：③有限；④无限。

C：⑤Klein四元群；⑥置换群；⑦循环群。

D，E：⑧0，⑨1和3；⑩2。

6.3  （1）设 是布尔代数，则L中的运算 和 是A，运算 的幺元是B，零元是C，最小的子布尔代数是由集合D构成。

（2）在布尔代数L中表达式

的等价式是E。

供选择的答案

A：①适合D.M律、幂等律、消去律和结合律；②适合D.M律、结合律、幂等律、分配律；③适合结合律、交换律、消去律、分配律。

B，C：④0；⑤1。

D：⑥ ；⑦ 。

E：⑧ ；⑨ ；⑩ 。

6.4  设 为整数集合，在Z上定义二元运算 ， 有

，

那么Z与运算 能否构成群？为什么？

6.5  设 ，其中

，

G上的运算是矩阵乘法。

（1）找出G的全部子群。

（2）在同构的意义下G是4阶循环群还是Klein四元群？

（3）令S是G的所有子群的集合，定义S上的包含关系 ，则 构成偏序集，画出这个偏序集的哈斯图。

6.6  令 ，其中 为虚数单位，即 ，那么 对于普通加法和乘法能否构成环？为什么？

6.7  下列各集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格？

（1） 。

（2） 。

（3） 。

（4） 。

6.8   设 是布尔代数，在S上定义二元运算 ， 有

。

那么 能否构成代数系统？如果能，指出是哪种代数系统。

6.9  设 构成群，其中 为集合的对称差。

（1）求解群方程 。

（2）令 ，求由B生成的循环子群 。

6.10   以下两个置换是 中的置换，其中

（1）试把 和 表成不交的轮换之积。

（2）求 。

6.11  判断以下映射是否为同态映射，如果是，说明它是否为单位态和满同态。

（1） 为群， ，其中 是G的幺元。

（2） 为整数加群， 。

（3） ，其中R为实数集， 为正实数集，+和·分别为普通加法和乘法， 。

6.12   设 是110的正因子集， 构成偏序集，其中 为整除关系。

（1）画出偏序集 的哈斯图。

（2）说明该偏序集是否构成布尔代数，为什么？

6.13   图6.1中给出了一些偏序集的哈斯图。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（1）指出哪些不是格并说明理由。

（2）对那些是格的说明它们是否为分配格、有补格和布尔格。

6.14   在图6.2所示的三个有界格中哪些元素有补元？如果有，请指导出该元素所有的补元。