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2013年河南省新课程高考适应性考试（一）
文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
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题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
答案 |
C |
C |
D |
A |
A |
B |
B |
D |
D |
D |
D |
C |
二、填空题（每小题5分，共20分）
（13）
（14）
（15）
（16）
三、解答题
（17）解：（Ⅰ）由正弦定理已知等式可化为
，
所以
， …………………3分
所以
，
所以
.
由正弦定理得，
，
所以a，c，b成等差数列. ……………………………6分
（Ⅱ）由
得
且a为最大边,
由
，
得：
，从而
, ……………………………10分
所以
. ……………………12分
（18）（Ⅰ）证明：因为ABC－A1B1C1是正三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AD．
又AD⊥C1D，CC1∩C1D＝C1，
所以AD⊥平面BCC1B1，
所以AD⊥BC，
所以D是BC的中点． ……………………3分
如图，连接A1C，设与AC1相交于点E，则点E为A1C的中点．
连接DE，则在
中，因为D、E分别是BC、A1C的中点，
所以A1B∥DE，又DE在平面AC1D内，A1B不在平面AC1D内，
所以A1B∥平面AC1D． ……6分
（Ⅱ）解：存在这样的点P，且点P为CC1的中点． ………7分
下面证明：由（Ⅰ）知AD⊥平面BCC1B1，故B1P⊥AD．
设PB1与C1D相交于点Q，由于△DC1C≌△PB1C1，故∠QB1C1＝∠CC1D，
因为∠QC1B1＝∠CDC1，从而△QC1B1∽△CDC1，
所以∠C1QB1＝∠DCC1＝90°，
所以B1P⊥C1D．因为AD∩C1D＝D，所以B1P⊥平面AC1D． ………12分
（19）解：（Ⅰ）价格在[16,17﹚内的频数为1－(0.06+0.08+0.16+0.38)=0.32，
所以价格在[16,17﹚内的地区数为50×0.32＝16，………………………2分
设价格中位数为x，由0.06+0.16+（x-15）×0.38=0.5，
解得：x=15
≈15.7（元） …………………………………. ………5分
（Ⅱ）由直方图知，价格在
的地区数为
，
记为
、
、
；价格在
的地区数为
，记为
若
时，有
，
，
3种情况；
若
时，有
6种情况；
若
分别在
和
内时，
|
|
A |
B |
C |
D |
|
x |
xA |
xB |
xC |
xD |
|
y |
yA |
yB |
yC |
yD |
|
z |
zA |
zB |
zC |
zD |
共有12种情况. ……………………………10分
所以基本事件总数为21种，
事件“
”所包含的基本事件个数有12种.
……………………………12分
（20）解：（Ⅰ）在
中,设
,
,
由余弦定理得
，
即
，即
，
得
. ……………………………2分
又因为
，
，
，
又
所以
，
所以所求椭圆的方程为
. ……………………………6分
（Ⅱ）显然直线
的斜率
存在，
设直线方程为
，
，
由
得
，即
，
，
， ……………………………8分
由
得，
，又
，
，
则
，
，
， ……………………………10分
那么
，
则直线直线
过定点
. ……………………………12分
（21）解：（Ⅰ）因为
，
故当
时，
，当
时，
，
要使
在
上递增，必须
，
因为
，
要使
在
上递增，必须
，即
，
由上得出，当
时
，
在
上均为增函数. ……6分
（Ⅱ）方程
有唯一解
有唯一解，
设
，所以
（
）
随
变化如下表：
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
递减 |
极小值 |
递增 |
由于在
上，
只有一个极小值，所以
的最小值为
，
故当
时，方程
有唯一解． …………12分
A
C
E
B
D
O
F
（22）证明：（Ⅰ）如图，
=180°-2∠A．
因此∠A是锐角，
从而
的外心与顶点A在DF的同侧，
∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．因此D，E，F，O四点共圆． ………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO，
即O在∠DEF平分线上． ……………10分
（23）解:（Ⅰ）由
得
，化为直角坐标方程为
，
即
. ……………4分
（Ⅱ）将
的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
由
，故可设
是上述方程的两根，
所以
，
又直线
过点
，故结合t的几何意义得
=
所以
的最小值为
……………10分
（24）解：（Ⅰ）
显然，函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以函数
的最小值
……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
恒成立，
由于
，
等号当且仅当
时成立，
故
，解之得
或
所以实数
的取值范围为
或
……………10分
文科数学答案 第2页（共4页）