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2013年河南省新课程高考适应性考试（一）理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
A
A
B
B
D
D
C
B
C
二、填空题（每小题5分，共20分）
（13） （14） （15） （16）
三、解答题
（17）解：（Ⅰ）递推公式可化为，即. …………3分
又，
所以数列是首项为3，公比为的等比数列. ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，所以 ……………7分
……………12分
（18）解：（Ⅰ）设分数在内的频率为x，根据频率分布直方图，
则有，可得x=0.3.
所以频率分布直方图如图所示：
……………4分
（Ⅱ）平均分为：
………………6分
（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人，
且X的可能取值是0，1，2．
则，，．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
所以EX＝0×＋1×＋2×＝． ……………12分
O
A
B
C
A1
B1
C1
M
（19）解：（Ⅰ）连接交于,连接.在三角形中，
是三角形的中位线，
所以∥,
又因平面，
所以∥平面. ……………4分
（Ⅱ）（法一）设直线与平面所成角为，
点到平面的距离为，不妨设，则，
因为,，
所以. ……………5分
因为，
所以,.
x
y
z
A
B
C
A1
B1
C1
M
.
，
，. ……………8分
（法二）如图以所在的直线为轴, 以所在
的直线为轴, 以所在的直线为轴，
以的长度为单位长度建立空间直角坐标系.
则,,,，,,.设直线与平面所成角为，平面的法向量为.则有,,，
令,得，
设直线与平面所成角为，
则. ……………8分
（Ⅲ）假设直线上存在点，使与成角为.
设，
x
y
N
x
z
A
B
C
A1
B1
C1
M
则，.
设其夹角为，
所以，
，
，或（舍去），
故.
所以在棱上存在棱的中点，使与成角. ……12分
（20）解：（Ⅰ）在 中,设,,由余弦定理得，
即，即，得.
又因为，，，
又因为所以，
所以所求椭圆的方程为. ……………5分
（Ⅱ）显然直线的斜率存在，设直线方程为，，
由得，即，
，，
由得，，又，，
则，，
，
那么，
则直线过定点. ……………10分
因为，，
，
，
，，
，
所以或. ……………12分
（21）解：（Ⅰ）令 得， ，所以，
， ……………3分
，
由得，
的减区间为（）. ……………5分
（Ⅱ）由题意 ，
，
设， . ……………7分
当时，恒成立，无最大值；
当时，由得，得.
在上为增函数，在上为减函数.
，
，
， ……………10分
设，，
由得，得，
，所以的最小值为. ……………12分
（22）证明：（Ⅰ） 如图，∠DEF=180°-（180°-2∠B）-（180°-2∠C）=180°-2∠A．
A
C
E
B
D
O
F
因此∠A是锐角，
从而的外心与顶点A在DF的同侧，
∠DOF=2∠A=180°-∠DEF．
因此D，E，F，O四点共圆． ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠DEO=∠DFO=∠FDO=∠FEO，
即O在∠DEF的平分线上． ……………10分
（23）解:（Ⅰ）由得，化为直角坐标方程为，
即. ……………4分
（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得.
由，故可设是上述方程的两根，
所以又直线过点，故结合t的几何意义得
=
所以的最小值为 ……………10分
（24）解：（Ⅰ）
显然，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以函数的最小值 ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，恒成立，
由于，
等号当且仅当时成立，
故，解之得或
所以实数的取值范围为或 ……………10分
理科数学答案 第4页（共6页）