2013年高中毕业年级第三次质量预测
数学（文科） 参考答案
一、选择题
CBDBB CCDAA DC
二、填空题
13． 14. 2013 15. 16. -2
三、解答题
17．解：（Ⅰ）设数列 的公差为 ，由 和 成等比数列，得
， ………………………………2分
解得 ，或 ，
当 时， ，与 成等比数列矛盾，舍去．
. ………………………………4分
即数列 的通项公式为 ………………6分
（Ⅱ） ……………………………… 8分
………………………………12分
18. 解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，
第一组抽取 天；第二组抽取 天；
第三组抽取 天；第四组抽取 天. ……………………4分
（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在(75,115]内的4天记为 ，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为 ．所以6天任取2天的情况有：
共15种． ……………………8分
记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：
共8种． ……………………10分
所求事件A的概率 ……………………12分
19.（Ⅰ）证明：连结 ,交 于 ,连结 ，
在 中， 分别为两腰 的中点,∴ ………………3分
因为
所以 平面 . ………………6分
（Ⅱ）由四边形 为矩形，知
又平面 平面 ，
三棱锥 的体积为
. …………8分
由已知 又平面 平面 ，
四棱锥的体积为
.………10分
所以原几何体被平面 所分成的两部分的体积比 . ……… ………………12分
20.解：(Ⅰ)由已知， ，又 ，
即 ，解得 ，
所以椭圆方程为
. …………………4分
(Ⅱ)存在.证明如下:
假设存在点 满足题设条件.
当 轴时，由椭圆的对称性可知恒有 ，即 ； …………6分
当 与x轴不垂直时，设 所在直线的方程为 ，代入椭圆方程化简得：
，
设 ，则
.
， ………………………9分
∵
，
若 ， 则 ， ……………………………………11分
即 ， 整理得 ，
∵ ，∴ .∴ .
综上,在 轴上存在定点 ，使得 . ………………………12分
21.解: (Ⅰ) 其定义域为 .…………1分
当 时， , . ……………………2分
令
当 时, 当 时,
所以 的单调递减区间为 单调递增区间为
所以当 时, 有极小值 无极大值. ……………………4分
(Ⅱ)
…………5分
当 时， .令 ,得 ,或 .
令 ,得 .
当 时， 的单调递减区间为 单调递增区间为 …………8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 时， 在 上单调递减,
所以
所以
因为对 ， 恒成立，
所以 , ……………………………………10分
整理得
又 ,所以
又 ，得 所以
故实数 的取值范围是 ……………………………………12分
22．解：(Ⅰ)因为 为切线， 为割线，
所以 ，
又因为 ，所以 ．
所以 ，又因为 ，
所以 ∽ ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，
所以 ． ……………………5分
(Ⅱ)由题意可得： 四点共圆，
.
∽ .
.
又 ， =4. ………………………………10分
23．解：（Ⅰ）直线 的直角坐标方程 ………………………………2分
曲线 的直角坐标方程 . ………………………………4分
（Ⅱ）曲线 经过伸缩变换 得到曲线 的方程为 ，
则点 参数方程为 ，代入 得，
= ,
的取值范围为 . ………………………………10分
24.解：（Ⅰ）由题意得 ，
.
， ,
.
,
，
.
.
综上所述,函数 的定义域为 . ………………………………5分
（Ⅱ）由题意得 恒成立，
即 ， 恒成立，
令
显然 时， 取得最小值 ， . ………………………………10分