2013年高中毕业年级第三次质量预测
数学（理科） 参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D A B C C A B D C D
一. 填空题
13. 1023 14. 15. -2 16.
二. 解答题
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设数列 的公差为 ，由 和 成等比数列，得
， 解得 ，或 ，……………………2分
当 时， ，与 成等比数列矛盾，舍去．
， ………………………4分
即数列 的通项公式 …………6分
（Ⅱ） = ，………………9分
.…………12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设甲、乙所付租车费分别为 由题意可知
………………………………4分
………………………………6分
（Ⅱ）由题意得变量 的所有取值为0,1,2,3,4.
………………………9分
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
0.3 0.34 0.24 0.1 0.02
…………………………12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：连结 ,交 与 ,连结 ，
中， 分别为两腰 的中点 , ∴ .………2分
因为 面 ,又 面 ，所以 平面 . …………4分
（Ⅱ）解：设平面 与 所成锐二面角的大小为 ，以 为空间坐标系的原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则
， .
设平面 的单位法向量为 则可设 . ……………………………7分
设面 的法向量 ，应有
即：
解得： ，所以 .……………………………10分
， .……………………………12分
20. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)由已知， ，又 ，
即 ，解得 ，
所以椭圆C的方程为 . ………………………………4分
(Ⅱ)假设存在点 满足题设条件.
当 轴时，由椭圆的对称性可知恒有 ，即 ；……………6分
当 与x轴不垂直时，设 所在直线的方程为 ，代入椭圆方程化简得：
，
设 ，则 ,
,
， …………………………9分
∵
，
若 ， 则 ，
即 ， 整理得 ，
∵ ，∴ . 的坐标为 .
综上,在 轴上存在定点 ，使得 . ………………………12分
21. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)∵ ，∴ ， ，
∴ .
令 ，则 .
∴ ， 和 的变化情况如下表：
+ 0
递增 极大值
递减
即函数 的单调递增区间是 ，递减区间为 ，
函数 有极大值 ； ………………………………4分
(Ⅱ) 由已知 在 上恒成立，
即 ，∵ ，∴ ，
故 在 上恒成立，只需 ，
即 ，∴只有 ，由 ,知 ； …………8分
(Ⅲ)令
.
.………………………………12分
22．（本小题满分10分）
解：(Ⅰ)因为 为切线， 为割线， ，
又因为 ，所以 ．
所以 ，又因为 ，所以 ∽ ，………………………………3分
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ．………………………………6分
(Ⅱ)由题意可得： 四点共圆，
.
∽ .
.
又 ， =4.………………………………10分
23．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）直线 的普通方程
曲线 的直角坐标方程 ；………………………………4分
（Ⅱ）曲线 经过伸缩变换 得到曲线 的方程为 ，
则点 参数方程为 ，代入 得，
=
的取值范围是 ……………………………10分
24．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由题意得 ，
.
， .
.
.
.
.
.
综上所述,函数 的定义域为 .………………………………5分
（Ⅱ）由题意得 恒成立，
即 ， 恒成立，
令
显然 时， 取得最小值 ， ………………………………10分