2013年七市联考数学试题(理工类)（B卷）
参考答案
一、选择题： CABAB DCBAD
二、填空题：11. 12. 13.（Ⅰ） （Ⅱ）
14.（Ⅰ） （Ⅱ） 15. 16.
（注：填空题中有两个空的，第一个空2分，第二个空3分）
三、解答题
17.解：（Ⅰ）
……………3分
∴ 的最小正周期 ……………4分
由 得
∴ 的单调递增区间为 ……………6分
（Ⅱ）由 得 ，
∵ ∴ ∴ , ……………8分
法一：又 ，
∴当 时， 最大为 ……………12分
法二： 即
；当且仅当 时等号成立。 ……………12分
18.解：（Ⅰ）由题意 ，即
解得 ，∴ ……………2分
又 ，即 ……………4分
解得 或 （舍）∴ ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴ ① ……………8分
又 ，
∴ ②…11分
由①②可知 ……………12分
19.解：（Ⅰ）证：连结DB1 、DC1 ∵四边形DBB1D1为矩形，M为D1B的中点 ……2分
∴M是DB1与D1B的交点，且M为DB1的中点
∴MN∥DC1，∴MN∥平面DD1C1C ……………4分
（Ⅱ）解：四边形 为矩形，B.C在A1A2上，B1.C1在 上，
且BB1∥CC1∥ ，A1B = CA2 = 2， ，
∴∠BDC = 90° ……………6分
以DB、DC、DD1所在直线分别为x.y.z轴建立直角坐标系，则
D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0， )，B1(2，0， )，C1(0，2， )
点M、N分别为D1B和B1C1的中点，∴
设平面D1MN的法向量为m = (x，y，z)，则
，
令x = 1得：
即 ……………8分
设平面MNC的法向量为n = (x，y，z)，则
，令z = 1得：
即 ……………10分
∵二面角D1－MN－C为直二面角 ∴m⊥n，故 ，解得：
∴二面角D1－MN－C为直二面角时， ． ……………12分
20.解：（Ⅰ）这 人的月平均收入为
（百元） ……………4分
（Ⅱ）根据频率分布直方图可知
的人数为 人
的人数为 人 ……………6分
的所有取值可能为
…… ……10分
∴ 的分布列为
∴ ……………12分
21.解：（Ⅰ）∵ ，∴ ， ……………1分
又 则直线 的方程为 ① ……………2分
又 则直线 的方程为 ②
由①②得
∵
∴直线 与 的交点 在椭圆 上 ……………4分
（Ⅱ）①当直线 的斜率不存在时，设
不妨取 ∴ ,不合题意……………5分
②当直线 的斜率存在时，设
联立方程 得
则
…………7分
又
即
将 代入上式得
解得 或 （舍）
∴直线过定点 ……………10分
∴ ，点 到直线 的距离为
∴
由 及 知： ，令 即
∴ 当且仅当 时， ……13分
22、解：（Ⅰ） --- 1分
由 的判别式
①当 即 时， 恒成立，则 在 单调递增 ……2分
②当 时， 在 恒成立，则 在 单调递增 ……3分
③当 时，方程 的两正根为
则 在 单调递增， 单调递减， 单调递增
综上，当 时，只有单调递增区间
当 时，单调递增区间为 ，
单调递减区间为 …… 5分
（Ⅱ）即 时， 恒成立
当 时， 在 单调递增 ∴当 时， 满足条件 …7分
当 时， 在 单调递减
则 在 单调递减
此时 不满足条件
故实数 的取值范围为 …… 9分
（Ⅲ）由（2）知， 在 恒成立
令 则 …… 10分
∴ …… 11分
又
∴ ……13分
∴ …… 14分
注：解答题中，若有不同解法，只要思路清晰，解法正确，请酌情给分。