2013咸阳高考二模理科数学答案评分标准
一、选择题： 1-5：D B B D B 6-10：C A DD D
二、填空题：11.必要不充分;12. ;13. ; 14. ;15.A.36;B. ;C.
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16.解：（Ⅰ）由正弦定理及 得
，
……………6分
（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得
，即 …………12分
17.解：（Ⅰ）设等比数列 的首项为 ，公比为 ，
依题意，有 解之得 ………4分
又 单调递增， ………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ………………………………7分
①
②
①-②得
………10分
，
又 ， …………………………11分
当 时， .
故使 ，成立的正整数 的最小值为5.…………………………………12分
18.解：不妨设正 的边长为3，则
（Ⅰ）在图1中，取 中点 ，连结 ，
∵ ,
∴ 而 ，
即△ 是正三角形
又∵ , ∴
∴在图2中有 , , ……………3分
∴ 为二面角 的平面角
∵二面角 为直二面角, ∴
又∵ , ∴ ⊥平面 ,即 ⊥平面 . ……………6分
（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知 平面 ，过 作 于 ,连接 ,
易证平面 ,即 为直线 和平面 所成角
不妨设正 的边长为 , 在 中,
,知 ,
可得直线 和平面 所成角为 . ………………12分
解法2：由（Ⅰ）可知 平面 ,建立如图所示的坐标系，则 ， .在图１中，不难得到 且 ； 且 P，则点
∴ ， ，
不妨设平面 的法向量 ，则
令 得 ∴
故直线 与平面 所成角的大小为 . ……………12分
19.解：（Ⅰ）依据条件， 服从超几何分布：其中 ， 的可能值为 ，其分布列为：
.
或 . ………………6分
（Ⅱ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为 ，
一年中空气质量达到一级的天数为 ，则 ，∴ （天）
所以一年中平均有 天的空气质量达到一级. …………………………12分
20.解：（Ⅰ）由点 得直线 即 ，
由直线 与圆 相切得
,解得
故椭圆 …………………………4分
（Ⅱ）解法1：显然直线 的斜率存在，
设直线
则由 得
即 ① …………………8分
联立 得 ，即
依题意
……………………………10分
代入①得
化简得 解得 或
当 时，直线 过定点
当 时，直线 过定点 ，不合题意，舍去 ………12分
综上，直线 过定点 . ……………………………13分
解法2：由 知 ，从而直线 与坐标轴不垂直，
由点 可设直线 ： ，直线 ： .
，即
解得 或 . ………………8分
故点 ，即 .
将上式中 换成 ，得点 . ………………10分
故直线 的方程为 ，
化简得直线 的方程为 . 知直线 过定点 . ……………13分
21.解：由 得
（Ⅰ）∵ ∴
知 在 和 上是增函数，在 上是减函数.………4分
（Ⅱ）由 得 ， 知 在 上是增函数.
注意到 ，可知当 时， ；
当 时， ；
当 时， . …………………9分
（Ⅲ）（法1）由（Ⅱ）知 时， ，即
∴
∴
相加得
即 ……………………14分
(法2)（数学归纳法）当 时， ．
， ，即 时命题成立． ………………………………10分
设当 时，命题成立，即 ．
时， ．
根据（Ⅱ）的结论，当 时， ，即 ．
令 ，则有 ，
则有 ，即 时命题也成立．……………13分
因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分