2013年高中毕业年级第二次质量预测数学（文科） 参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
ADCA DBBC BBAC
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．6；14．3；15． ；16． ．
三、解答题
17．解:作 垂直公路所在直线于点 ,则 ,
――――2分
设骑摩托车的人的速度为 公里/小时,追上汽车的时间为 小时
由余弦定理: ――――6分
――――8分
当 时, 的最小值为 , 其行驶距离为 公里――――11分
故骑摩托车的人至少以 公里/时的速度行驶才能实现他的愿望,
他驾驶摩托车行驶了 公里. ――――12分
18．解（Ⅰ）茎叶图略. ―――2分
统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;
②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐;
③甲种树苗的中位数为 ，乙种树苗的中位数为 ;
④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，
乙种树苗的高度分布较为分散. ―――6分（每写出一个统计结论得2分）
（Ⅱ） ――――9分
表示 株甲树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量.
值越小，表示长得越整齐， 值越大，表示长得越参差不齐．――――12分
19．解：（Ⅰ）取 中点为 ，连结 ，
在正三棱柱 中面 面 ，
为正三角形，所以 ，
故 平面 ，又 平面 ，
所以 ．
又正方形 中， ，
所以 ，又 ，
所以 平面 ，故 ，
又正方形 中， ， ，
所以 ⊥面 ． ――――6分
（Ⅱ）取 的中点为 ，连结 ．
因为 分别为 的中点，所以 平面 ，
又 平面 ， ，所以平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，注意到 ，所以 ，又 为 的中点，
所以 为 的中点，即 为所求． ――――12分
20．解：（Ⅰ）设 ，由题知 ，所以以 为直径的圆的圆心 ，
则 ，
整理得 为所求． ――――4分
（Ⅱ）不存在，理由如下： ――――5分
若这样的三角形存在，由题可设 ，由条件①知 ，
由条件②得 ，又因为点 ，
所以 即 ，故 ，――――9分
解之得 或 （舍），
当 时，解得 不合题意，
所以同时满足两个条件的三角形不存在． ――――12分
21．解：（Ⅰ） ，
则 ， ――――1分
当 时， ，此时函数 为增函数；
当 时， ，此时函数 为减函数．
所以函数 的增区间为 ,减区间为 ． ――――4分
（Ⅱ）设过点 的直线 与函数 切于点 ，则其斜率 ，
故切线 ，
将点 代入直线 方程得：
，即 ，――――7分
设 ，则 ，
当 时， ，函数 为增函数；
当 时， ，函数 为减函数．
故方程 至多有两个实根， ――――10分
又 ，所以方程 的两个实根为 和 ，
故 ，所以 为所求．――――12分
22．证明：（Ⅰ）连接 ⊙M的直径，
⊙O的直径，
――――2分
为弧 的中点， ――――4分
∽ , ―――6分
（Ⅱ）由（1）知
∽ , ――――8分
由（1）知 ∴ ――――10分
23．解：（Ⅰ）当 时，C1的普通方程为 ，C 2的普通方程为 ，
联立方程组 ，解得C 1与C 2的交点坐标为（1，0）， ．――――5分
（Ⅱ）C 1的普通方程为 ，A点坐标为 ，
故当 变化时，P点轨迹的参数方程为 （ 为参数）
P点轨迹的普通方程为 ．
故P点轨迹是圆心为 ，半径为 的圆．――――10
24．解：（Ⅰ）由 得 ，解得 ．
又已知不等式 的解集为 ，所以 ，解得 .――――4分
（Ⅱ）当 时， ，设 ，
于是 ――――6分
所以当 时， ； 当 时， ； 当 时， ．
综上可得， 的最小值为5．――――9分
从而若 ，即 对一切实数 恒成立，
则 的取值范围为（-∞，5]．――――10分