青 岛 科 技 大 学
二○一二年硕士研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
注意事项：1．本试卷共 七 道大题，满分 150 分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
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一（20分）
求 矩阵 的不变因子。
二（20分）
设 是数域 上 矩阵, 是数域 上 矩阵，试证：
.
三（20分）
, 分别是 和 矩阵,若 ，证明：
.
四（20分）
证明：秩等于 的对称矩阵可以表成 个秩等于1的对称矩阵之和.
五（20分）
设 ，且 ，证明：
.
六（20分）
假设向量 可以由向量组 线性表出，证明：表示法是唯一的充分必要条件是 线性无关.
七（30分）
设 是复数域上的 维线性空间，而线性变换A在基 下的矩阵是一若尔当块。证明
中包含 的A不变子空间只有 自身；
中任一非零A不变子空间都包含 ；
不能分解成两个非平凡的A不变子空间的直和。
青岛科技大学2012年高等代数考研试题真题