开放题是相对于封闭题而言的，封闭题的条件完备，结论确定，而开放题的条件不完整或结论不唯一．解开放题常常没有现成的，可遵循的模式，得出的结论也可能是多种多样的．解这类问题，要求学生注意观察、分析、比较、归纳、猜想、推理、概括所探求的规律，下面就规律探索型略举几例．
一、数字排列规律题
例１观察下列数表：
１２３４………第一行
２３４５………第二行
３４５６………第三行
４５６７………第四行
…………
第第第第
一二三四
列列列列
（１）根据数表所反映的规律，猜想第６行与第６列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第ｎ项与第ｎ列交叉点的数应为＿＿＿＿（用正整数ｎ表示）．
（２）进一步推断第一行与第一列到第ｎ行与第ｎ列交叉的数的和的规律．
分析通过观察第一行与第一列到第ｎ行与第ｎ列交叉的数是１、３、５、７、……２ｎ－１，所以第６行与第６列交叉点的数是１１，第ｎ行与第ｎ列交叉的数应表示为２ｎ－１．
根据题意可列出下列点阵，算式．１＋３＝４＝２２１＋３＋５＝９＝３２１＋３＋５＋７＝１６＝４４１＋３＋５＋７＋９＝２５＝５２
从而可推出：１＋３＋５＋７＋……＋（２ｎ－１）＝ｎ
２
二、数、式计算规律题
例２判断下列各式是否成立，你认为成立的在括号内打“√”，不成立的打“×”．
①２＋２３√＝２２
３√（）
②３＋３８√＝３３
８√（）
③４＋４１５√＝４４
１５√（）
④５＋５２４√＝５５
２４√（）
（１）你判断完以上各题后，发现什么规律？用含ｎ的式子将规律表示出来，并说明ｎ的取值范围．
（２）请用数学知识说明你写的式子的正确性．
分析①、②、③、④式正确，通过观察等式左边的被开方数的规律及等式右边根号里外数字变化规律可得ｎ＋ｎｎ２－１√＝ｎｎｎ２－１√，其中ｎ≥２的自然数．取ｎ＝３验证：３３８√
＝３２×３８√＝３３－３＋３３２－１√＝３（３
２－１）＋３３２－１√＝３＋３８√
例３观察下列分母有理化的计算．
１２√＋１＝２√－１，
１３√＋２√＝３√－２√，
１４√＋３√＝４√－３√，
１５√＋４√＝５√－４√，…
从计算结果中找出规律，并利用这规律计算：
（１２√＋１＋１３√＋２√＋１４√＋３√＋…＋１２００２√＋２００１√）（２００２√＋１）
分析观察上面分母有理化可得规律１ｎ＋１√＋ｎ√＝ｎ＋１√－ｎ√，把ｎ个等式相加消去符号相异的根式，括号内只剩－１＋２００２√，
由此可得：（１２√＋１＋１
３√＋２√＋１４√＋３√＋…＋１２００２√＋２００１√）（２００２√＋１）
＝（－１＋２００２√）（２００２√＋１）＝２００１
三、几何图形变化规律题
例４观察下列图形（图①、图②、图③）并阅读下列相关文字：
两条直线相交，三条直线相交，四条直线相交，……最多有一个交点；最多有三个交点；最多有六个交点；
像上面这样，１０条直线相交，最多有多少个交点；ｎ条直线相交最多有＿＿＿＿＿个交点．
分析通过观察分析，两条直线相交，交点数＝２（２－１）２
＝１个；３条直线相交交点数＝３（３－１）２
＝３个；４条直线相交交点数＝４（４－１）２
＝６个；……，１０条直线相交交点数＝１０（１０－１）２
＝４５个．因此ｎ条直线相交交点数＝ｎ（ｎ－１）２
个．（ｎ≥２的正整数）
例５图４－（１）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图４－（２）中间小三角形，再连结中间小三角形三边的中点，得到图４－（３），按此方法继续下去，请根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题．
（１）填写下表图形编号（１）（２）（３）（４）（５）…三角形个数１５９…
（２）在第ｎ个图形中有多少个三角形．
分析观察图形编号（１）、（２）、（３）与三角形个数的变化１、５、９可填出，图形（４）中三角形个数是１３，图形（５）中三角形个数是１７，继续可推得第ｎ个图形中三角形共有（４ｎ－３）个．
四、几何性质图形衍变规律题
例６经过⊙Ｏ内或⊙Ｏ外一点Ｐ作两条直线交⊙Ｏ于Ａ、Ｂ和Ｃ、Ｄ四点（在图（５）、（６）中有重合的点），得到如图６中（１）－（６）所表示的六种不同情况．
（１）在六种不同情况下，ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ、ＰＤ四条线段在数量上满足的关系式可以用同一个关系式表示出来，请写出这个式子，然后就图（２）所示的圆内两条相交弦的一般情况给出它的证明．
（２）已知⊙Ｏ的半径为一定值ｒ，若点Ｐ是不在⊙Ｏ上的一个定点，过点Ｐ任作一直线交⊙Ｏ于不重合的两点Ｅ、Ｆ，判断ＰＥ·ＰＦ的值是否为定值？为什么？由此你发现什么结论？并把这一结论用文字叙述出来．
说明：（１）ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ、ＰＤ四条线段的关系为ＰＡ·ＰＢ＝ＰＣ·ＰＤ．
（２）结论叙述为：过不在圆上的一个定点任作一直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段长的积为定值．
这（６）个图是几何圆中系列定理（垂径定理、切线长定理、相交弦定理、切割线定理）的衍变图，熟悉了各个定理后，从运动变化到相对静止的辨证观点再认识这一系列图形的性质，加深了知识的理解和规律的探索，利于培养学生思维能力和概括能力．