一、关系
二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象是由系数ａ、ｂ、ｃ决定的，系数的符号与抛物线有如下关系：
１．二次项系数ａ决定抛物线的开口方向．ａ＞０开口向上；ａ＜０开口向下．
２．抛物线的对称轴是ｘ＝－ｂ２ａ．
ｂ＝０抛物线的对称轴是ｙ轴；
ａｂ＞０（ａ、ｂ同号）抛物线的对称轴在ｙ轴的左侧．
ａｂ＜０（ａ、ｂ异号）抛物线的对称轴在ｙ轴的右侧．
３．ｃ是抛物线与ｙ轴交点的纵坐标．
ｃ＝０抛物线经过原点；
ｃ＞０抛物线与ｙ轴交于正半轴；
ｃ＜０抛物线与ｙ轴交于负半轴．
４．△＝ｂ２－４ａｃ确定图象与ｘ轴是否相交．
△＞０抛物线与ｘ轴有两个交点；
△＝０抛物线与ｘ轴只有一个交点；
△＜０抛物线与ｘ轴没有交点．
二、应用
１．由抛物线确定系数的符号（或关系）
例１二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，则下列结论正确的是（）（２００３年北京市海淀区中考题）
Ａ．ａ＞０，ｂ＜０，ｃ＞０Ｂ．ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＞０
Ｃ．ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＜０Ｄ．ａ＜０，ｂ＞０，ｃ＞０
分析由抛物线的开口向下，对称轴在ｙ轴的右侧，与ｙ轴的交点在其正半轴．可知ａ＜０，ａｂ＜０，从而ｂ＞０，ｃ＞０，故Ｄ正确．
例２已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，下列结论中①ａｂｃ＞０，②ｂ＝２ａ，③ａ＋ｂ＋ｃ＜０，④ａ－ｂ＋ｃ＞０，正确的个数是（）（２００２年哈尔滨市中考题）
Ａ．４个Ｂ．３个Ｃ．２个Ｄ．１个
分析由抛物线开口向下，对称轴在ｙ轴的左侧，与ｙ轴的交点在ｘ轴的上方，可知ａ＜０，ａｂ＞０，从而ｂ＜０，又ｃ＞０．∴ａｂｃ＞０，由ｘ＝－ｂ２ａ＝－１，知ｂ＝２ａ，则ａ＋ｂ＋ｃ＜０，ａ－ｂ＋ｃ＞０，故选Ａ．
例３已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）．（２００２年湖北黄冈市中考题）
Ａ．ａｂｃ＞０Ｂ．ｂ２－４ａｃ＞０
Ｃ．２ａ＋ｂ＞０Ｄ．４ａ－２ｂ＋ｃ＜０
分析由抛物线开口向上知ａ＞０，对称轴在ｙ轴的右侧，则ａｂ＜０，从而ｂ＜０，抛物线与ｙ轴的交点在ｘ轴下方，则ｃ＜０，∴ａｂｃ＞０，抛物线与ｘ轴有两个交点，则ｂ２－４ａｃ＞０，由对称轴方程ｘ＝－ｂ２ａ＜１，得２ａ＋ｂ＞０，故应选Ａ、Ｂ、Ｃ．
２．由系数符号判定抛物线的位置
例４已知ａ＜０，ｂ＞０，ｃ＞０，那么抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的顶点在（）．（２００１年宁夏自治区中考题）
Ａ．第一象限Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限
分析由ａ＜０，ｂ＞０，知ｘ＝－ｂ２ａ＞０，又由ｃ＞０，知４ａｃ－ｂ２＜０，∴ｙ＝４ａｃ－ｂ２４ａ
＞０，∴抛物线顶点在第一象限内，故选Ａ．
３．由抛物线确定一次函数图象位置
例５已知如图为二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象，则一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂｃ的图象不经过（）
（２００３年天津市中考题）
Ａ．第一象限Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限
分析由抛物线开口向上知ａ＞０，对称轴在ｙ轴的左侧ａｂ＞０，则ｂ＞０．抛物线与ｙ轴的交点在ｘ轴下方，则ｃ＜０．则一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂｃ的图象不经过第二象限，故选Ｂ．
例６函数ｙ＝ａｘ＋ｂ与ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）．
（２００３年江苏省盐城市中考题）
Ａ．ａｂ＞０，ｃ＞０Ｂ．ａｂ＜０，ｃ＞０
Ｃ．ａｂ＞０，ｃ＜０Ｄ．ａｂ＜０，ｃ＜０
分析由抛物线开口向上知ａ＞０，抛物线与ｙ轴交点在ｘ轴下方知ｃ＜０，对称轴在ｙ轴的右侧ａｂ＜０，再由一次函数的图象也可知ａ＞０，ｂ＜０，故选Ｄ．
４．其它
例７二次函数ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，则函数值ｙ＜０时，对应ｘ的取值范围是（）．（２００３年山西省中考题）
分析由于对称轴ｘ＝－ｂ２ａ＝－ｂ
２＝－１，∴ｂ＝２．且ｙｍｉｎ＝４ａｃ－ｂ２４ａ
＝－４即４ｃ－４４
＝－４．∴ｃ＝－３则ｙ＝ｘ２＋２ｘ－３＜０，即（ｘ－１）（ｘ＋３）＜０∴－３＜ｘ＜１即为对应的ｘ取值范围．
例８如图，抛物线ｙ＝ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点，与ｙ轴交于点Ｃ，∠ＯＢＣ＝４５°，则下列各式成立的是（）
（２００３年江苏省扬州市中考题）
Ａ．ｂ－ｃ－１＝０Ｂ．ｂ＋ｃ－１＝０
Ｃ．ｂ－ｃ＋１＝０Ｄ．ｂ＋ｃ＋１＝０
分析由题意知ＯＢ＝ＯＣ＝ｃ∴Ｂ（ｃ，０），满足抛物线方程，∴ｃ２＋ｂｃ＋ｃ＝０，即ｂ＋ｃ＋１＝０，故选Ｄ．