如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，
∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，
∴PA′+PB的最小值为线段 A′B的长度，
∵A（0，7），B（6，1）
∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，
∴A′B ，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．
23．某工厂计划生产A、B两种产品共50件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料30千克、乙种材料10千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各20千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金40元，购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金105元，可列出方程组 ，解方程组即可得到甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）设生产A产品m件，生产B产品（50-m）件，先表示出生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20（50-m）+25×20（50-m）=-100m+40000，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元得到-100m+40000≤38000，根据生产B产品不少于28件得到50-m≥28，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案；
（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300（50-m），根据成本=材料费+加工费得到W=-100m+40000+200m+300（50-m）=-200m+55000，根据一次函数的性质得到W 随m的增大而减小，然后把m=22代入计算，即可得到最低成本．
【解答】解：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，则 ，解得 ，
所以甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；
（2）设生产A产品m件，生产B产品（50-m）件，则生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20（50-m）+25×20（50-m）=-100m+40000，
由题意：-100m+40000≤38000，解得m≥20，
又∵50-m≥28，解得m≤22，
∴20≤m≤22，
/zhongkao/Special/zhongkaoshiti/∴m的值为20， 21，22，
共有三种方案，如下表：
A（件） ２０ ２１ ２２
B（件） ３０ ２９ ２８
（3）设总生产成本为W元，加工费为：200m+300（50-m），
则W=-100m+40000+200m+300（50-m）=-200m+55000，
∵W 随m的增大而减小，而m=20，21，22，
∴当m=22时，总成本最低，此时W=-200×22+55000=50600元．
【点评】本题考查了一次函数的应用：通过实际问题列出一次函数关系，然后根据一次函数的性质解决问题．也考查了二元一次方程组以及二元一次不等式组的应用．
24．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；
（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求FG FC 的值．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠BCA=90°，则∠ABC+∠BAC=90°，而∠CBD=∠BA，得到∠ABC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，根据切线的判定定理即可得到BD为⊙O的切线；
（2）连CE、OC，BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED，则△OBE为等边三角形，于是∠BOE=6 0°，又因为AC∥OD，则∠OAC=60°，AC=OA=OE，即有AC∥OE且AC=OE， 可得到四边形OACE是平行四边形，加上OA=OE，即可得到四边形OACE是菱形；
（3）由CF⊥AB得到∠AFC=∠OBD=90°，而AC∥OD，则∠CAF=∠DOB，根据相似三角形的判定易得Rt△AFC∽Rt△OBD，则有 ，即 ，再由FG∥BD易证得△AFG∽△ABD，则 ，即 ，然后求FC与FG的比即可一个定值．[来源:学科网]
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵∠CBD=∠BA，
∴∠ABC+∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD为⊙O的切线；
（2）证明：连CE、OC，BE，如图，
∵OE=ED，∠OBD=90°，
∴BE=OE=ED，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠BOE=60°，
又∵AC∥OD，
∴∠OAC=60°，
又∵OA=OC，
∴AC=OA=OE，
∴AC∥OE且AC=OE，
∴四边形OACE是平行四边形，
而OA=OE，
∴四边形OACE是菱形；
（3）解：∵CF⊥AB，
∴∠AFC=∠OBD=90°，
而AC∥OD，
∴∠CAF=∠DOB，
∴Rt△AFC∽Rt△OBD，
∴ ，即 ，
又∵FG∥BD，
∴△AFG∽△ABD，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了圆的综合题：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；直径所对的圆周角为直角；熟练掌握等边三角形的性质和菱形的判定；运用相似三角形的判定与性质解决线段之间的关系．
25．抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点 D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】
【分析】（1）由y=-x2+bx+c经过点A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先令-x2+2x+3=0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（a，3-a），即可得D（a，-a2+2a+3），即可求得PD的长，由S△BDC=S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC ，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）首先过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，然后分别从点M在EF左侧与M在EF右侧时去分析求解即可求得答案．
【解答】解：（1）由题意得： ，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）令 ，
∴x1= -1，x2=3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
∴ ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），
∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，
∴S△BDC=S△PDC+S△PDB
，
∴当 时，△BDC的面积最大，此时P（ ， ）；
（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，
当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90°，
则△MNF∽△NCH，
∴ ，
设FN=n，则NH=3-n，
∴ ，
即n2-3n-m+1=0，
关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，
得m≥ ，
当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，
∴m≤5，
综上，m的变化范围为： ≤m≤5．
【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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