2006年北京市朝阳区高三第一次统一考试数学（理）试题

第I卷（选择题共40分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

球的表面积公式

其中R是表示球的半径

球的体积公式

其中R表示球的半径

 

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集为R， ，则（    ）

A.                      B.

C.                 D.

（2）已知m是平面α外的一条直线，直线 ，那么m//n是 的（    ）

A. 充分不必要条件                   B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件                       D. 既不充分也不必要条件

（3）已知向量a＝（2，3），b＝（1，2），且 ，则 等于（    ）

A.                    B.                  C. －3                  D. 3

（4）已知函数 在 上单调递增且在这个区间上的最大值为 ，则实数 的一个值可以是（    ）

A.                    B.                     C.             D.

（5）从10种不同的作物种子中选出6种，放入分别标有1号至6号的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有（    ）

A. 种                B. 种                 C. 种                 D. 种

（6）如下图，正方形ABCD的顶点A（0， ），B（ ，0），顶点C、D位于第一象限，直线 将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数 的图象大致是（    ）

（7）过双曲线 的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为（    ）

A. 2               B.                  C. 3               D.

（8）设函数f(x)在定义域D上满足 ，且当 时， ，若数列 中， ，则数列 的通项公式为（    ）

A.                          B.

C.                             D.

 

第II卷（非选择题  共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。将答案填在题中横线上。

（9）设复数 ，则 等于_____________。

（10） 的展开式共有11项，则n的值为_____________，其中常数项为_____________。

（11）一平面截得一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的表面积是_____________cm²，球的体积是_____________cm³。

（12）已知 ，则关于x的不等式 的解集为_____________。

（13）一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位，若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为 ，则 _____________。

（14）下表给出一个“直角三角形数阵”

满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第 行，第j列的数为 ，则第3列的公差等于_____________， 等于_____________。

   

 

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本小题满分13分）

已知

（I）求tanθ；（II）求

（16）（本小题满分13分）

已知口袋中有大小相同的m个红球和n个白球， ，从袋中任意取出两个球。

（I）若 ，求取出的两个球中至少有一个红球的概率；

（II）设取出的两球都是红球的概率为 ，取出的两球恰是1红1白的概率为 ，且 ，求证： 。

（17）（本小题满分13分）

已知矩形ABCD中， ，将ΔABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上，E、F、G分别为棱BD、AD、AB的中点。

（I）求证：DA⊥平面ABC；

（II）求点C到平面ABD的距离；

（III）求二面角G—FC—E的大小。

（18）（本小题满分13分）

已知椭圆 的中心在坐标原点O，一条准线的方程是 ，过椭圆的左焦点F，且方向向量为 的直线l交椭圆于A、B两点，AB的中点为M。

（I）求直线OM的斜率（用a、b表示）；

（II）直线AB与OM的夹角为α，当 时，求椭圆的方程。

（19）（本小题满分14分）

已知函数 ，在 处取得极值为2。

（I）求函数 的解析式；

（II）若函数 在区间（m，2m＋1）上为增函数，求实数m的取值范围；

（III）若P（x₀，y₀）为 图象上的任意一点，直线l与 的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围。

（20）（本小题满分14分）

在各项均为正数的数列 中，前n项和S_n满足 。

（I）证明 是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；

（II）在XOY平面上，设点列M_n（x_n，y_n）满足 ，且点列M_n在直线C上，M_n中最高点为M_k，若称直线C与x轴、直线 所围成的图形的面积为直线C在区间[a，b]上的面积，试求直线C在区间[x₃，x_k]上的面积；

（III）是否存在圆心在直线C上的圆，使得点列M_n中任何一个点都在该圆内部？若存在，求出符合题目条件的半径最小的圆；若不存在，请说明理由。