2006年北京市朝阳区高三第一次统一考试数学（文）答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B                 （2）A                 （3）B                 （4）B

（5）C                 （6）D                 （7）D                 （8）C

 

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）           （10）20              （11）11，

（12） ，         （13）

（14） ，

 

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）解：（I）由 ，得        ……2分

                     ……6分

（II）                    ……10分

                                       ……13分

（16）解：

    （I）设取出的两个中有一个红球为事件A，取出的两个球中都为红球为事件B，则取出的两个中至少有一个红球的概率为

      ……6分

    （II）由已知得 ，又

    ，……10分

    ，即 。   ……13分

    （17）方法1：

（I）证明：依条件可知DA⊥AB              ①

∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，即平面ACD经过平面BCD的垂线

∴平面ACD⊥平面BCD             ……4分

（II）解：由（I）结论知平面ADC⊥平面BCD。

依条件可知BC⊥DC，∴BC⊥平面ACD

∵DC 平面ACD，∴BC⊥DA  ②

∵AB BC＝B，∴由①、②得DA⊥平面ABC

设求点C到平面ABD的距离为d，

于是 。

∵DA⊥平面ABC，∴DA是三棱锥D—ABC的高。

∴由 ，得 。解得 。

即点C到平面ABD的距离为 。……8分

（III）解：由（II）中结论可知DA⊥平面ABC，

又∵DA 平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC

过E作EF⊥AB，垂足为F，∴EF⊥平面ABC。

过F作FG⊥AC，垂足为G，连结EG，

∴EG⊥AC

∴∠EGF是所求二面角的平面角。  ……10分

∵DA⊥AB，EF⊥AB，

又点E、F分别是所在边的中点，

∴

同理

∵在△AEC中，

    ∴

在△EFG中容易求出∠EGF＝45°。

即二面角B－AC－E的大小是45°  ……13分

 

方法2：

（I）证明：

如图，以CB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过点C，平面BDC方向向上的法向量为Z轴建立空间直角坐标系。

所以C（0，0，0），B（1，0，0），D（0， ，0）

∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，∴点A的坐标为 。

∵ 是平面BCD的一个法向量。

而 是平面ADC的一个法向量。

∵

∴平面ACD⊥平面BCD。  ……4分

（II）解：设点C到平面ABD的距离为d

容易求出平面ABD的一个法向量为

∴

即点C到平面ABD的距离为                     ……8分

    （III）解：∵ ，

    ∴容易求出平面ABC的一个法向量为

    又

    ∴容易求出平面AEC的一个法向量为 。

    ∵ ，

    。……12分

    ∴二面角B－AC－E的大小是45°。  ……13分

（18）解：（I）∵ ，

∴   ……2分

∵在 时， 取极小值

∴   ……6分

∴   ……7分

（II）证明：∵ ，令 得

∵ 时， ；

时，   9分

∴ [－1，1]上是减函数，且

∴在[－1，1]上 ，

故   ……13分

（19）解：（1）由已知得         ①

故         ②

②－①得

结合 ，得

是等差数列                    ……4分

又 时， ，解得 或

。又 ，故 ，

             ……7分

（II）

即得点

设 ，消去n，得

即直线C的方程为                   ……11分

又 是n的减函数

∴M₁为M_n中的最高点，且M₁（1，1）。又M₃的坐标为（ ， ）

∴C与x轴、直线 围成的图形为直角梯形，从而直线C在[ ，1]上的面积为   ……14分

（20）解：（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为A、B在椭圆上

所以

两式相减，得：

                   ……4分

（II）因为直线AB与OM的夹角为α，tanα＝2

由（I）知

             ①

又椭圆中心在坐标原点O，一条准线的方程是

           ②

在椭圆中，            ③

联立①②③，解得：

所以，椭圆的方程为    ……9分

（III）设AB直线的方程为

由   消元得

∵A、B两点分别位于第一、三象限，

∴

当 时，

解得：   ……13分

所以椭圆短轴长的取值范围为（0，1）  ……14分

注：2个空的填空题，做对其中任一个给3分。如有其它解法请阅卷老师酌情给分。