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高三年级八校联考 理科数学 试卷（2017.4）
本试卷分第І卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第І卷 (选择题 共40分)
一．选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填涂在答题卡上!)
1. 设是实数，且是实数，则= （ ）
A. B. 1 C. D. -1
2. 若某程序框图如图，则该程序运行后输出的值是
（ ）
A.7 B.8
C.9 D.10
3．设变量满足， 则目标函数 的最小值为（ ）
A.2 B. 3
C. 4 D. 5
4．设则""是""的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
6．如图，网格纸上的小正方形的边长为1， 粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A. B. C. D . [:][:]
7．为双曲线的右支上一点，，分别是圆
和上的点，则的最大值为（ ）
Ａ． B． C． D．
8．已知定义在上的函数，以下说法正确的是（ ）
①函数的图像是中心对称图形
②函数有两个极值
③函数零点个数最多为三个
④当时，若，则
A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答题纸上!)
9．已知集合，，则集合
10．在 的展开式中的常数项为
11．由曲线与所围成的封闭图形的面积是________
12．在以为极点的极坐标系中，曲线和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为_________
13．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边 上，若，则 的值是
14．已知定义在R上的函数，若关于的方程有三个不等的实数解，设，则的取值范围是_________
三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．并将答案写在答题纸上!)
15．(本小题满分13分)
已知函数，其图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，
（Ⅰ）求在区间上的单调区间；
（Ⅱ）若，，求的值。
16．(本小题满分13分)
质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。
（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积为偶数且不能被4整除的概率；
（2）设为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数， 求的分布列及期望E.
17．(本小题满分13分)
如图，三棱柱中，，，，为的中点。
（1）求证：//面；
（2）若，求二面角的余弦值；
（3）若在线段上存在点，使得，试求的长．
18． (本小题满分13分)
设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（1）确定的取值范围，并求直线AB的方程；
（2）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
19．(本小题满分14分)
在数列中，，其前n项和满足关系式
(1)求证：数列是等比数列；
（2）设数列的公比为，；
（3）求
20．(本小题满分14分)
设定义在R上的函数，，当时，取极大值，且函数的图象关于原点对称.
（1）求的表达式；
（2）试在函数的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上；
（3）设，，求证：.
高三年级八校联考 理科数学 答案（2017．4）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二、填空题
9． 10． 11．
12． 13． 14．
三、解答题
15．(Ⅰ)解：由题知，，所以，．
.
令： 则
又因为 所以单减区间为，
单增区间为………………7分
（Ⅱ）已知，
所以，，又，则，
得.
所以，
=.…………………………………………………13分
16．解：（1）设“与桌面接触的4个面上的4个数的乘积为偶数且不能被4整除”为事件A，则
……………………………………….. 5分
（2）的分布列为
0 1 2 3 4
P [:]
服从二项分布，则 13分
17．
解：（1）连接B1C，交BC1于点O，
则O为B1C的中点，
D为AC中点，
，
又平面BDC1，平面BDC1
BDC1 ……………………..3分
（2）平面ABC，BCAC，AA1//CC 1，
面ABC，
则BC平面AC1，CC1AC
如图建系，则
设平面C1DB的法向量为
则
又平面BDC的法向量为
二面角C1—BD—C的余弦值： …………8分
（3）设， 则
又面BDC1，
解得
所以AA1=2． ……………….13分
18．(1)设直线AB的方程为
整理得 ①
设①的两个不同的根，
②
是线段AB的中点，
得
解得k=－1，代入②得，>12，
即的取值范围是（12，+）.
于是，直线AB的方程为………………6分
（2）
代入椭圆方程，整理得 ③
③的两根，
于是由弦长公式可得
④
将直线AB的方程
得 ⑤
同理可得 ⑥
假设在>12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为
⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上……13分
19．
解：（1）由已知，即有
由解得，所以
当
①
②
①－②得
综上所述，知 ，因此是等比数列；……..5分
（2） 由（1）知
则
所以
因此，是等差数列，且……………9分
（3）
＝
＝
＝…………………..14分
20．
解：（1）∵函数的图象关于原点对称，∴函数是奇函数，
即恒成立，∴，（1分） 由题意得
，（2分）∴ ∴
经验证满足题意 ∴……………………4分
（2），设所求两点为，，其中，得
因为，
所以 或
即为或
从而所求两点的坐标分别为或者；………9分
（3）易知，当时，即在上递减，
得，即.
又，函数在处取极大值，
又，，，
得.
∴………………………14分