肇庆市中小学教学质量评估
2017届高中毕业班第三次统一检测题
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合,，则
（A） （B） （C） （D）
（2）复数
（A） （B） （C） （D）
（3）从中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
（A） （B） （C） （D）
（4）设首项为，公比为的等比数列的前项和为，则
（A） （B）
（C） （D）
（5）椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（6）某几何体的三视图如图所示（网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为
（A） 2 （B） 3
（C） 4 （D）6
（7）设函数，则
（A）在单调递增，其图象关于直线对称
（B）在单调递增，其图象关于直线对称
（C）在单调递减，其图象关于直线对称
（D）在单调递减，其图象关于直线对称
（8）如图所示是计算函数的值的程序框图，
在①②③处应分别填入的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是
（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆
（10）当实数满足不等式组时，恒成立，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（11）在棱长为1的正方体中，，是线段（含端点）上的一动点， 则
①； ②；
③三棱锥的体积为定值；
④与所成的最大角为90.
上述命题中正确的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（12）定义在上的函数满足，.若关于的方程有5个不同实根，则正实数的取值范围是
（A） （B）来源:学网 （C） （D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则＝ ▲ .
（14）已知直线是曲线的一条切线，则的值为 ▲ .
（15）设数列满足，点对任意的，都有向量，则数列的前项和= ▲ .
（16）已知函数，若存在2个零点，且都大于，则的取值范围是 ▲ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知中，角所对的边依次为，其中.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若成等比数列，求面积的最大值.
（18）（本小题满分12分）
某市房产契税标准如下：
购房总价（万）
税率
从该市某高档住宅小区，随机调查了一百户居民，获得了他们的购房总额数据，整理得到了如下的频率分布直方图：
（Ⅰ）假设该小区已经出售了2000套住房，估计该小区有多少套房子的总价在300万以上，说明理由.
（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该小区购房者缴纳契税的平均值.
（19）（本小题满分12分）
在四棱锥中，，，是的中点，面面.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求点到面的距离.
（20）（本小题满分12分）
已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切. 为坐标原点.
（Ⅰ）求圆心的轨迹的方程.
（Ⅱ）直线与曲线交于两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.
（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调区间；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数， 在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（Ⅱ）若曲线与曲线交于两点，求的最大值和最小值.
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数，.
（Ⅰ）当，解不等式；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
2017届高中毕业班第三次统一检测题
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C B D D A D B B D D D
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由，得 （1分）
由正弦定理得 （2分）
得 （3分）
又因为，所以 （5分）
（Ⅱ）若成等比数列，则有 （6分）
，当且仅当时等号成立， （8分）
单调递减，且，所以的最大值为. （10分）
，当时，面积取得最大值. （12分）
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，购房总价在300万以上的频率为
， （3分）
，估计该小区有300套房子的总价在300万以上. （4分）
（Ⅱ）由频率分布直方图，以及契税标准可知：
当购房总价是1百万时，契税为1万，频率为0.1；
当购房总价是1.5百万时，契税为1.5万，频率为0.15；
当购房总价是2百万时，契税为2万，频率为0.2；
当购房总价是2.5百万时，契税为3.75万，频率为0.25；
当购房总价是3百万时，契税为4.5万，频率为0.15；
当购房总价是3.5百万时，契税为5.25万，频率为0.05；
当购房总价是4百万时，契税为6万，频率为0.05；
当购房总价是4.5百万时，契税为13.5万，频率为0.05； （8分）
依题意可知该小区购房者缴纳契税的平均值为
该小区购房者缴纳契税的平均值为3.575万元. （12分）
（19）（本小题满分12分）
解法一：
（Ⅰ）证明：取的中点，连接. （1分）
因为是的中位线，所以. （2分）
又，所以，所以四边形是平行四边形. （3分）
所以，又所以. （5分）
（Ⅱ）取的中点，连接，则，所以四边形是平行四边形.
所以，所以在以为直径的圆上. （6分）
所以，可得. （7分）
因为面面，且面面=，
所以面， （8分）
即，可得. （9分）
在面内做于，又面面，且面面=，所以面. （10分）
由余弦定理可得，所以.（11分）
，即到面的距离为. （12分）
解法二：
（Ⅰ）证明：延长交于点，连接. （1分）
因为，所以是的中位线. （2分）
，所以是的中位线，
所以. （3分）
又所以. （5分）
（Ⅱ）易得是等边三角形，所以. （6分）
因为面面，且面面=，
所以面，所以. （7分）
所以，三棱锥是正四面体. （8分）
所以在底面的投影是底面的中心，可得. （10分）
，到面的距离为. （12分）
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设动圆P的半径为，
依题意有，. （2分）
所以轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， （3分）
当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去. （4分）
所以轨迹的方程 . （5分）
（Ⅱ）设，联立得（6分）
，，得 （7分）
设原点到直线的距离为， （8分）
，
（9分）
令，则，
，当且仅当时，等号成立， （11分）
即当时，面积取得最大值，此时直线方程为.（12分）
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）定义域是，. （1分）
令.
当，即时， 恒成立，即，所以的单调增区间为； （2分）
当时，即或时，方程有两个不等的实根，
. （3分）
若，由得，，所以在成立，即，所以的单调增区间为； （4分）
若，由得，，
由得的范围是，由得的范围，
即的单调递增区间为，的单调递减区间为.（5分）
综上所述，当时，的单调递增区间为
，
的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无递减区间. （6分）
（Ⅱ）由，得，
即，即在上恒成立. （7分）
由（Ⅰ）知当时，的单调递增区间为，又， （8分）
所以当时，恒成立. （9分）
由（Ⅰ）知当时，在单调递增，在单调递减，且，得，，不符合题意. （11分）
综上所述，的取值范围是. （12分）
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ），（2分）
，即. （4分）
即 ①，故曲线是圆. （5分）
（Ⅱ）将曲线的参数方程代入①，化简得. （7分）
， （8分）
当时，取得最大值；当时，取得最小值. （10分）
（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由，得， （1分）
两边平方，并整理得， （2分）
所以不等式的解集为. （4分）
（Ⅱ）法一：
由，得，即. （5分）
令，依题意可得. （6分）
， （8分）
当且仅当时，上述不等式的等号同时成立，所以.（9分）
所以的取值范围是. （10分）
法二：
由，得，即. （5分）
令，依题意可得. （6分）
， （7分）
易得在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值. （9分）
故的取值范围是. （10分）