2017年高中毕业年级第三次质量预测
文科数学试题卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（ ）
A.20 B.30 C.40 D.50
3.已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
6.已知，且，函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）
A. B. C. D.
8.已知等比数列，且，则的值为（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
9.若实数、、，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，，当的周长最大时，的面积是（ ）
A. B. C. D.
11.四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设变量，满足约束条件：，则目标函数的最小值为 ．
14.已知向量，，若向量，的夹角为，则实数 ．
15.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则 ．
16.在中，，为平面内一点，且，为劣弧上一动点，且，则的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列是等差数列，首项，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.按照国家环保部发布的新修订的《环境空气质量标准》，规定：PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，国家环保部门在2016年10月1日到2017年1月30日这120天对全国的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：
组别 PM2.5浓度（微克/立方米） 频数（天）
第一组 32
第二组 64
第三组 16
第四组 115以上 8
（1）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？
（2）在（1）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率.
19.如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且斜边，侧棱，点为的中点，点在线段上，（为实数）.
（1）求证：不论取何值时，恒有；
（2）当时，求多面体的体积.
20.已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线分别与，交于，两点.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21.已知函数.
（1）若，求函数的最小值；
（2）当时，若对，，使得成立，求的范围.
22.以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.
23.已知函数.
（1）若，使得成立，求的范围；
（2）求不等式的解集.
2017年高中毕业年级第三次质量预测
数学（文科） 参考答案
一、选择题
AABCD； AADDC；CA.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13.4； 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：(I)设数列的公差为，
由，且是与的等比中项得：
或
与是与的等比中项矛盾，舍去.
，即数列的通项公式为.
(II)
18.解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，
第一组抽取天；第二组抽取天；
第三组抽取天；第四组抽取天.
（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在内的4天记为，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为.
所以6天任取2天的情况有：共15种．
记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件，其中符合条件的有：共8种，
所求事件A的概率：
19(I)证明：是等腰直角三角形，点为的中点，
又
又
(II) 是等腰直角三角形，且斜边
20.解：(I)由题意得
点的轨迹为以为焦点的椭圆
点的轨迹的方程为
(II)直线的方程可设为，设
联立可得
由求根公式化简整理得
假设在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，则
即
求得
因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点.
21.解:(I)，令得.
当即时，在上，递增，的最小值为
.
当即时，在上，为减函数，在上，为增函数. ∴的最小值为.
当即时，在上，递减，的最小值为
.
综上所述，当时的最小值为，当时的最小值为,当时，最小值为.
(II)令
由题可知“对，，使得成立”
等价于“在上的最小值不大于在上的最小值”.
即
由(I)可知，当时，.
当时，，
①当时，
由得，与矛盾，舍去.
②当时，
由得，与矛盾，舍去.
③当时，
由得
综上，的取值范围是.
22.解：（I）由由，得
曲线的直角坐标方程为
（II）将直线的参数方程代入，得
设两点对应的参数分别为则，，
当时，的最小值为2.
23.解：（I）
当 所以 ∴
（II）即≥由（I）可知，
当的解集为空集；
当时，即，；
当时，即，；
综上，原不等式的解集为