天津市南开中学2017届高三第五次月考
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值是（ ）
A．-2 B．2 C．-6 D．6
3.执行如图所示的程序框图，若输入的 值为1，则输出的 值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.在 的二项展开式中， 项的系数为（ ）
A．540 B．-540 C.20 D．-20
5.已知 是两条互相垂直的直线， 是平面，则 是 的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C.充要 D．既不充分也不必要
6. 已知双曲线 ， 为双曲线的左右顶点，若点 在双曲线上，且满足 为一个顶角为 的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C. D．
7.设实数 分别满足 ， 则 的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
8.若函数 与 的图象恰有两个公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C. D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9.设 为序数单位，则 ．
10.已知抛物线的参数方程为 （ 为参数），其中 ，焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一点 作 的垂线，垂足为 ，若 ，点 横坐标为6，则 ．
11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为 ．
12.设 是公差不为0的等差数列 的前 项和，且 成等比数列，则 ．
13.函数 在点(1，2)处的切线与函数 围成的图形的面积等于 ．
14.已知 是 外接圆的圆心，若 ，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数 的图象过点
（1）求 的值；
（Ⅱ）在 中，角 的对边分别是 若 求 的取值范围.
16、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.
某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为标本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；
（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记 表示其中空气质量达到一级的天数，求 的分布列；
（Ⅲ）以这15的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.
17. 如图，直三棱柱 中， 是棱 上的点，
（Ⅰ）求证： 为 中点；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角正弦值大小；
（Ⅲ）在 边界及内部是否存在点 使得 面 存在，说明 位置，不存在，说明理由
18. 椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 满足 .
（Ⅰ）求椭圆的离心率 ；
（Ⅱ）设直线 与椭圆相交于 、 两点，若直线 与圆 相交于 、 两点，且 ，求椭圆的方程.
19. 记 ，对数列 和 的子集 若 ，定义 ，若 定义 例如： 时， 现设 是公比为3的等比数列，且当 时 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数 若 求证： ；
（Ⅲ）对任意正整数 若 ，记数列 的前 项和为 ，求证：
20. 已知函数 .
（Ⅰ）若 在 上的最大值为 求实数 的值；
（Ⅱ）若对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设 ，对任意给定的正实数 ，曲线 上是否存在两点 使得 是以 （ 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 轴上？请说明理由.
试卷答案
一、选择题
1-5: BDBBD 6-8: ACC
二、填空题
9. 10. 4 11. 12. 3 13. 14.
三、解答题
15.（Ⅰ）由
因为点 在函数 的图象上，所以 .
（Ⅱ）因为
所以
所以 即
又因为 所以 所以
又因为 所以 所以 ；
， ，
所以 的取值范围是
16.（Ⅰ）设 这天空气质量为1级，
， 的可能值为0，1，2，3，其分布列为：
0 1 2 3
（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为 ，
一年中空气质量达到一级的天数为 则 ， （天）
所以一年中平均有120天的空气质量达到一级.
17.（1）.根据题意以 所在直线为 轴
为 中点.
（2）.
设面 法向量
，设
所求角正弦值为
（3）设
不存在
18.解：（1）设 、 因为 ，
，得 （舍），或 所以
（2）由（1）知 ，椭圆方程 的方程为
.
两点的坐标满足方程组 ，消去 并整理，得
解得 得方程组的解 ， .
不妨设 ，则 .
于是 .
圆心 到直线 的距离 .
因为 ，所以 ，整理得
得 （舍），或
所以椭圆方程为
19.（1）由已知得 ，
于是当 时，
又 故 ，即 .所以数列 的通项公式为 .
（2）因为 ，
所以 .
因此， .
（3）
法二：
20.（1）由 ，得 .
令 ，得 或 .
函数 在 上的变化情况如下表：
0
- 0 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
.
即最大值为 .
（2）由 得 .
， ，且等号不能同时取得， ，即 ..
恒成立，即 .
令 ，则 ，
当 时， ，从而 .
在区间 上为增函数， .
（3）由条件 .
假设曲线 上存在两点 满足题意，则 只能在 轴的两侧，不妨设 ，则 .
是以 （ 是坐标原点）为直角顶点的直角三角形， .
是否存在 等价于该方程 且 是否有根.
当 时，方程可化为 ，化简得 ，此时方程无解；
当 时，方程为 ，即 .
设 ， ，
显然，当 时， ，即 在区间 上是增函数， 的值域是
，即 .
当 时方程总有解，即对于任意正实数 ，曲线 上总存在两点 使得 是以 （ 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在 轴上.