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2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（二）
数学（理）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 为虚数单位，复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．设变量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最小值为（ ）
A．29 B．25 C．11 D．9
3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
4．甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“ ”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，（ ）.若直线 与圆 相交于 ， 两点， 的面积为2，则 值为（ ）
A． 或3 B．1或5 C． 或 D．2或6
6．设 的内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， .若 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．已知双曲线 的离心率为 ，圆心在 轴的正半轴上的圆 与双曲线的渐近线相切，且圆 的半径为2，则以圆 的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 在定义域 上单调递增，且对于任意 ，方程 有且只有一个实数解，则函数 在区间 （ ）上的所有零点的和为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9．已知集合 ， ， ，则集合 ．
10． 的展开式中 的系数为 ．（用数字作答）
11．已知一个几何体的三视图如图所示（单位： ），其中俯视图为正三角形，则该几何体的体积为 ．
12．如图，在长方形 内任取一点 ，则点 落在阴影部分内的概率为 ．
13．已知定义在 上的函数 满足 ，且对于任意 ， ， ，均有 .若 ， ，则 的取值范围为 ．
14．在梯形 中，已知 ， ， ，动点 和 分布在线段 和 上，且 的最大值为 ，则 的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知函数 .
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）若 在区间 上的最大值与最小值的和为2，求 的值.
16．某校高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学.从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查.
（Ⅰ）设 为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，求事件 的概率；
（Ⅱ）设 为选出的4人中男生人数与女生人数差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望.
17．如图，四边形 为菱形， ， 与 相交于点 ， 平面 ， 平面 ， ， 为 中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值；
（Ⅲ）当直线 与平面 所成角为 时，求异面直线 与 所成角的余弦值.
18．已知数列 满足 （ ，且 ）， ， ， ，且 ， ， 成等比数列.
（Ⅰ）求 的值及数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， ，求数列 的前 项和 .
19．设椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， ，下顶点为 ，直线 的方程为 .
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）设 为椭圆上异于其顶点的一点， 到直线 的距离为 ，且三角形 的面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若斜率为 的直线 与椭圆 相切，过焦点 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， ，求 的最大值.
20．设函数 ， ，其中 ， .
（Ⅰ）若函数 在 处有极小值 ，求 ， 的值；
（Ⅱ）若 ，设 ，求证：当 时， ；
（Ⅲ）若 ， ，对于给定 ， ， ， ， ，其中 ， ， ，若 .求 的取值范围.
2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（二）
数学理科参考答案
一、选择题
1-4:BDAA 5-8:CDBB
二、填空题
9． 10．15 11．
12． 13． 14．
三、解答题
15．解：（Ⅰ）
（Ⅱ）因为 ，所以
当 ，即 时， 单调递增
当 ，即 时， 单调递减
所以
又因为 ，
所以
故 ，因此
16．解：（Ⅰ） ，故事件 发生的概率为 .
（Ⅱ）随机变量 的所有可能值为0，2，4.
所以随机变量 的分布列为
0 2 4
随机变量 的数学期望
17．解：（Ⅰ）证明：因为 面 ， 面 ，所以 .
因为四边形 为菱形，所以 为 中点，又 为 中点，
所以 ， 面 ， 面 ，故 平面 .
（Ⅱ）分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
， ， ，
， ，
设平面 的法向量 ，则
得 ，令 ， ，所以
设平面 的法向量 ，则
得 ，令 ， ，所以
于是 ，
所以 .
所以，二面角 的正弦值为 .
（Ⅲ）设 ， ，
因为 与平面 所成角为 ，所以
解得 或 （舍）.
于是 ， .
因此，异面直线 与 所成角的余弦值 .
18．解：（Ⅰ）由已知 ， ，因为 ， ， 成等比数列，
所以
解得 或 （舍）
于是
当 时，
当 时，
因此 为偶数为奇数.
（Ⅱ）
，
所以
于是
19．解：（Ⅰ）由已知 ，则 .
，
（Ⅱ）（1）设点 ，于是 ，
所以 或
而 无解；
由 得 .
又因为三角形 面积 ，所以 ，
于是，椭圆的方程为 .
（2）设直线 ： 代入椭圆 的方程 中，
得
由已知 ，即
同时 ，
①当 时，
所以
当且仅当 时等号成立
而 时， ，因此
②当 时，四边形 为矩形
此时
综上①②可知， 的最大值为4.
20．解：（Ⅰ） ，由已知可得 ，
解得 或 .
当 时， ， 是 的极小值点.
当 时， ， 是 的极大值点，故舍去.
所以 ， .
（Ⅱ）
因为 ，所以函数 的对称轴 位于区间 之外，
于是， 在 上的最大值在两端点处取得，
即 .
于是 ，
故 .
（Ⅲ）
所以，当 时， ，所以 在 上单调递减.
①当 时， ，
，
，
因为 在 上单调递减，所以 ，
且 .
因此， 成立， 符合题意.
②当 时， ，
，
于是 .
所以 ， 不符合题意.
③ 时， ，
，
.
所以 ， 不符合题意.
综上， .