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南京市2017届高三年级第三次模拟考试
数 学 2017.05
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
参考公式：
方差s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x为x1，x2，…，xn的平均数．
柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
锥体的体积公式：V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，4}，B＝{3，4}，则∁U (A∪B)＝ ▲ ．
2．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ．
3．若复数z满足z＋2－z＝3＋2i，其中i为虚数单位，－z为
复数z的共轭复数，则复数z的模为 ▲ ．
4．执行如图所示的伪代码，若输出y的值为1，
则输入x的值为 ▲ ．
5．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．
6．在同一直角坐标系中，函数y＝sin(x＋π3) （x∈[0，2π]）的图象和直线y＝12 的交点的个数是 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线x22m2－y23m＝1的焦距为6，则所有满足条件的实数m构成的集合是 ▲ ．
8．已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数．当x∈[2，4]时，f(x)＝|log4(x－32)|，
则f(12)的值为 ▲ ．
9．若等比数列{an}的各项均为正数，且a3－a1＝2，则a5的最小值为 ▲ ．
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，
三棱锥D－ABC1的体积为 ▲ ．
11．若函数f(x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间[a，a＋1]上单调递增，则实数a的最大值为 ▲ ．
12．在凸四边形ABCD中， BD＝2，且AC→•BD→＝0，(AB→＋→DC)•(→BC＋→AD)＝5，则四边形ABCD的面积为 ▲ ．
13. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1(a为实数)．若圆O与圆M上分别存在点P，Q，使得∠OQP＝30，则a的取值范围为 ▲ ．
14．已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，2a＋3b≤2c，则3a＋8bc的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．
（1）求证：EF∥平面ABD；
（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．
16．（本小题满分14分）
已知向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，α∈(0，π2)．
（1）若a－b＝(25，0)，求t的值；
（2）若t＝1，且a • b＝1，求tan(2α＋π4)的值．
17．（本小题满分14分）
在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图）．看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD＝10米；三角形水域ABC的面积为4003平方米．设∠BAC＝θ．
（1）求BC的长（用含θ的式子表示）；
（2）若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且OM→•AB→＝－32b2．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知a＝2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥DC．记直线AD，BC的斜率分别
为k1，k2，求证：k1•k2为定值．
19．（本小题满分16分）
已知常数p＞0，数列{an}满足an＋1＝|p－an|＋2 an＋p，n∈N．
（1）若a1＝－1，p＝1，
①求a4的值；
②求数列{an}的前n项和Sn．
（2）若数列{an}中存在三项ar，as，at (r，s，t∈N，r＜s＜t)依次成等差数列，
求a1p的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知λ∈R，函数f (x)＝ex－ex－λ(xlnx－x＋1)的导函数为g(x)．
（1）求曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程；
（2）若函数g (x)存在极值，求λ的取值范围；
（3）若x≥1时，f (x)≥0恒成立，求λ的最大值．
南京市2017届高三第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）
1．{2} 2．38 3． 5 4．－1 5．6.8 6．2
7．{32} 8．12 9．8 10．13 11．－1＋52 12．3
13．[－65，0] 14．[27，30]
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
证明：（1）因为BD∥平面AEF，
BD平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，
所以 BD∥EF． …………………… 3分
因为BD平面ABD，EF平面ABD，
所以 EF∥平面ABD． …………………… 6分
（2）因为AE⊥平面BCD，CD平面BCD，
所以 AE⊥CD． …………………… 8分
因为 BD⊥CD，BD∥EF，
所以 CD⊥EF， …………………… 10分
又 AE∩EF＝E，AE平面AEF，EF平面AEF，
所以 CD⊥平面AEF． …………………… 12分
又 CD平面ACD，
所以 平面AEF⊥平面ACD． …………………… 14分
16．（本小题满分14分）
解：（1）因为向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，
且a－b＝(25，0)，所以cosα－sinα＝15，t＝sin2α． …………………… 2分
由cosα－sinα＝15 得 (cosα－sinα)2＝125，
即1－2sinαcosα＝125，从而2sinαcosα＝2425．
所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝4925．
因为α∈(0，π2)，所以cosα＋sinα＝75． …………………… 5分
所以sinα＝(cosα＋sinα)－(cosα－sinα)2＝35，
从而t＝sin2α＝925． …………………… 7分
（2）因为t＝1，且a • b＝1，
所以4sinαcosα＋sin2α＝1，即4sinαcosα＝cos2α．
因为α∈(0，π2)，所以cosα≠0，从而tanα＝14． …………………… 9分
所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝815． …………………… 11分
从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tanπ41－tan2α•tanπ4＝815＋11－815＝237． …………………… 14分
17．（本小题满分14分）
解：（1）因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，所以AB＝3AC．
在△ABC中，S△ABC＝12AB•AC•sinθ＝4003，
所以AC2＝800sinθ ． …………………… 3分
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB•AC•cosθ，
＝4AC2－23AC2 cosθ．
＝(4－23cosθ) 800sinθ ，
即BC＝(4－23cosθ)•800sinθ ＝402－3cosθsinθ．
所以 BC＝402－3cosθsinθ ，θ∈(0，π)． …………………… 7分
（2）设表演台的总造价为W万元．
因为CD＝10m，表演台每平方米的造价为0.3万元，
所以W＝3BC＝1202－3cosθsinθ ，θ∈(0，π)． …………………… 9分
记f(θ)＝2－3cosθsinθ，θ∈(0，π)．
则f ′(θ)＝3－2cosθsin2θ． …………………… 11分
由f ′(θ)＝0，解得θ＝π6．
当θ∈(0，π6)时，f ′(θ)＜0；当θ∈(π6，π)时，f ′(θ)＞0．
故f(θ)在(0，π6)上单调递减，在(π6，π)上单调递增，
从而当θ＝π6 时，f(θ)取得最小值，最小值为f(π6)＝1．
所以Wmin＝120(万元)．
答：表演台的最低造价为120万元． …………………… 14分
18．（本小题满分16分）
解：（1）A(a，0)，B(0，b)，由M为线段AB的中点得M(a2，b2)．
所以OM→＝(a2，b2)，AB→＝(－a，b)．
因为OM→•AB→＝－32b2，所以(a2，b2)•(－a，b)＝－a22＋b22＝－32b2，
整理得a2＝4b2，即a＝2b． …………………… 3分
因为a2＝b2＋c2，所以3a2＝4c2，即3a＝2c．
所以椭圆的离心率e＝ca＝32． …………………… 5分
（2）方法一：由a＝2得b＝1，故椭圆方程为x24＋y2＝1．
从而A(2，0)，B(0，1)，直线AB的斜率为－12． …………………… 7分
因为AB∥DC，故可设DC的方程为y＝－12x＋m．设D(x1，y1)，C(x2，y2)．
联立y＝－12x＋m，x24＋y2＝1，消去y，得x2－2mx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝2m，从而x1＝2m－x2． ……………………… 9分
直线AD的斜率k1＝y1x1－2＝－12x1＋mx1－2，直线BC的斜率k2＝y2－1x2＝－12x2＋m－1x2，
……………………… 11分
所以k1•k2＝－12x1＋mx1－2•－12x2＋m－1x2
＝14x1x2－12(m－1)x1－12mx2＋m(m－1)(x1－2)x2
＝14x1x2－12m(x1＋x2)＋12x1＋m(m－1)x1x2－2x2
＝14x1x2－12m•2m＋12(2m－x2)＋m(m－1)x1x2－2x2
＝14x1x2－12x2x1x2－2x2＝14，
即k1•k2为定值14． ………………………16分
方法二：由a＝2得b＝1，故椭圆方程为x24＋y2＝1．
从而A(2，0)，B(0，1)，直线AB的斜率为－12． …………………… 7分
设C(x0，y0)，则x024＋y02＝1．
因为AB∥CD，故CD的方程为y＝－12(x－x0)＋y0．
联立y＝－12(x－x0)＋y0，x24＋y2＝1，消去y，得x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，
解得x＝x0（舍去）或x＝2y0．
所以点D的坐标为(2y0，12x0)． ……………………… 13分
所以k1•k2＝12x02y0－2•y0－1x0＝14，即k1•k2为定值14． ……………………… 16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）因为p＝1，所以an＋1＝|1－an|＋2 an＋1．
① 因为 a1＝－1，所以
a2＝|1－a1|＋2 a1＋1＝1，
a3＝|1－a2|＋2 a2＋1＝3，
a4＝|1－a3|＋2 a3＋1＝9． …………………………… 3分
② 因为a2＝1，an＋1＝|1－an|＋2 an＋1，
所以当n≥2时，an≥1，
从而an＋1＝|1－an|＋2 an＋1＝an－1＋2 an＋1＝3an，
于是有 an＝3n－2(n≥2) ． …………………………… 5分
当n＝1时，S1＝－1；
当n≥2时，Sn＝－1＋a2＋a3＋…＋an＝－1＋1－3n－11－3＝3n－1－32 ．
所以 Sn＝1，n＝1，3n－1－32，n≥2，n∈N*，
即Sn＝3n－1－32，n∈N． ………………………… 8分
（2）因为an＋1－an＝|p－an|＋an＋p≥p－an＋an＋p＝2 p＞0，
所以an＋1＞an，即{an}单调递增． ………………………… 10分
（i）当a1 p≥1时，有a1≥p，于是an≥a1≥p，
所以an＋1＝|p－an|＋2 an＋p＝an－p＋2 an＋p＝3an，所以an＝3n－1a1．
若{an}中存在三项ar，as，at (r，s，t∈N，r＜s＜t)依次成等差数列，则有2 as＝ar＋at，
即2×3s－1＝3r－1＋3t－1． （）
因为s≤t－1，所以2×3s－1＝23×3s＜3t－1＜3r－1＋3t－1，
即（）不成立．
故此时数列{an}中不存在三项依次成等差数列． ……………………… 12分
（ii）当－1＜a1 p ＜1时，有－p＜a1＜p．
此时a2＝|p－a1|＋2 a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2 p＞p，
于是当n≥2时，an≥a2＞p，
从而an＋1＝|p－an|＋2 an＋p＝an－p＋2 an＋p＝3an．
所以an＝3n－2a2＝3n－2(a1＋2p) (n≥2)．
若{an}中存在三项ar，as，at (r，s，t∈N，r＜s＜t)依次成等差数列，
同（i）可知，r＝1，
于是有2×3s－2(a1＋2 p)＝a1＋3t－2(a1＋2p)．
因为2≤s≤t－1，
所以a1 a1＋2 p＝2×3s－2－3t－2＝29×3s－13×3t－1＜0．
因为2×3s－2－3t－2是整数，所以a1 a1＋2 p≤－1，
于是a1≤－a1－2p，即a1≤－p，与－p＜a1＜p相矛盾．
故此时数列{an}中不存在三项依次成等差数列． ………………… 14分
（iii）当a1p≤－1时，则有a1≤－p＜p，a1＋p≤0，
于是a2＝| p－a1|＋2a1＋p＝p－a1＋2 a1＋p＝a1＋2p，
a3＝|p－a2|＋2a2＋p＝|p＋a1|＋2a1＋5p＝－p－a1＋2a1＋5p＝a1＋4p，
此时有a1，a2，a3成等差数列．
综上可知：a1p≤－1． ……………………………… 16分
20．（本小题满分16分）
解：（1）因为f′(x)＝ex－e－λlnx，
所以曲线y＝f (x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)＝0，
又切点为(1，f (1))，即(1，0)，
所以切线方程为y＝0． ………………………… 2分
（2）g (x)＝ex－e－λlnx，g′(x)＝ex－λx．
当λ≤0时，g′(x)＞0恒成立，从而g (x)在(0，＋∞)上单调递增，
故此时g (x)无极值． ………………………… 4分
当λ＞0时，设h(x)＝ex－λx，则h′(x)＝ex＋λx2＞0恒成立，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增． ………………………… 6分
①当0＜λ＜e时，
h(1)＝e－λ＞0，h(λe)＝eλe－e＜0，且h(x)是(0，＋∞)上的连续函数，
因此存在唯一的x0∈(λe，1)，使得h(x0)＝0．
②当λ≥e时，
h(1)＝e－λ≤0，h(λ)＝eλ－1＞0，且h(x)是(0，＋∞)上的连续函数，
因此存在唯一的x0∈[1，λ)，使得h(x0)＝0．
故当λ＞0时，存在唯一的x0＞0，使得h(x0)＝0． …………………… 8分
且当0＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0，当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0，
所以g (x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
因此g (x)在x＝x0处有极小值．
所以当函数g (x)存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)． …………………… 10分
（3）g (x)＝f′(x)＝ex－e－λlnx，g′(x)＝ex－λx．
若g′(x)≥0恒成立，则有λ≤xex恒成立．
设φ(x)＝xex(x≥1)，则φ′(x)＝(x＋1) ex＞0恒成立，
所以φ(x)单调递增，从而φ(x)≥φ(1)＝e，即λ≤e．
于是当λ≤e时，g (x)在[1，＋∞)上单调递增，
此时g (x)≥g (1)＝0，即f′(x)≥0，从而f (x)在[1，＋∞)上单调递增．
所以f (x)≥f (1)＝0恒成立． …………………………… 13分
当λ＞e时，由（2）知，存在x0∈(1，λ)，使得g (x)在(0，x0)上单调递减，
即f′(x)在(0，x0)上单调递减．
所以当1＜x＜x0时，f′(x)＜f′(1)＝0，
于是f (x)在[1，x0)上单调递减，所以f (x0)＜f (1)＝0．
这与x≥1时，f (x)≥0恒成立矛盾．
因此λ≤e，即λ的最大值为e． …………………………… 16分
南京市2017届高三第三次模拟考试
数学附加参考答案及评分标准
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：连结BE．
因为AD是边BC上的高，AE是△ABC的外接圆的直径，
所以∠ABE ＝∠ADC＝90°． …………… 4分
∠AEB＝∠ACD， …………… 6分
所以△ABE∽△ADC， …………… 8分
所以ABAD ＝ AEAC ．
即AB•AC＝AD•AE． …………… 10分
B．选修4—2：矩阵与变换
解：（1）AX＝ 2 x y 2 －1 1 ＝ x－22－y ． …………… 2分
因为AX＝12，所以x－2＝1，2－y＝2，解得x＝3，y＝0． …………… 4分
（2）由（1）知A＝2 30 2 ，又B＝1 －10 2 ，
所以AB ＝ 2 30 2 1 －10 2 ＝ 2 40 4 ． …………… 6分
设(AB)－1 ＝ a bc d ，则 2 40 4 a bc d ＝ 1 00 1 ，
即 2a＋4c 2b＋4d 4c 4d ＝ 1 00 1 ． …………… 8分
所以 2a＋4c＝1，4c＝0，2b＋4d＝0，4d＝1， 解得a＝12，b＝－12，c＝0，d＝14，
即 (AB)－1＝ 12 －120 14 ． …………… 10分
（说明：逆矩阵也可以直接使用公式求解，但要求呈现公式的结构）
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：由于2 ＝ x2＋y2，cosθ ＝ x，
所以曲线C的直角坐标方程为 x2＋y2－8x＋15＝0，
即 (x－4)2+y2＝1，所以曲线C是以 (4，0) 为圆心，1为半径的圆．…………… 3分
直线l的直角坐标方程为 y＝x ，即x－y＝0． …………… 6分
因为圆心 (4，0) 到直线l的距离d＝|4－0|2＝22＞1． …………… 8分
所以直线l与圆相离，
从而PQ的最小值为d－1＝22－1． …………… 10分
D．选修4—5：不等式选讲
证明：因为x＞0，所以x3＋2 ＝ x3＋1＋1 ≥ 33x3×1×1 ＝ 3x，
当且仅当x3＝1，即x＝1时取“＝”． …………… 4分
因为y2＋1－2y＝(y－1)2≥0，所以y2＋1≥2y，
当且仅当y＝1时取“＝”． …………… 8分
所以 (x3＋2)＋(y2＋1)≥3x＋2y，
即x3＋y2＋3≥3x＋2y，当且仅当x＝y＝1时，取“＝”． …………… 10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
解：（1）设P(x，y)为曲线C上任意一点 ．
因为PS⊥l，垂足为S，又直线l：x＝－1，所以S(－1，y)．
因为T(3，0)，所以OP→＝(x，y)， ST→＝(4，－y)．
因为OP→•ST→＝0，所以4x－y2＝0，即y2＝4x．
所以曲线C的方程为y2＝4x． …………… 3分
（2）因为直线PQ过点(1，0)，
故设直线PQ的方程为x＝my＋1．P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
联立y2＝4x，x＝my＋1，消去x，得y2―4my―4＝0．
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝―4． …………… 5分
因为M为线段PQ的中点，所以M的坐标为(x1＋x22，y1＋y22)，即M (2m2＋1，2m)．
又因为S(－1，y1)，N(－1，0)，
所以SM→＝(2m2＋2，2m－y1)，NQ→＝(x2＋1，y2)＝(my2＋2，y2)． …………… 7分
因为(2m2＋2) y2－(2m－y1)(my2＋2)＝(2m2＋2) y2－2m2y2＋my1y2－4m＋2y1
＝2(y1＋y2)＋my1y2－4m＝8m－4m－4m＝0．
所以向量SM→与NQ→共线． …………… 10分
23．（本小题满分10分）
解：（1）由题意，当n＝2时，数列{an}共有6项．
要使得f(2)是2的整数倍，则这6项中，只能有0项、2项、4项、6项取1，
故T2＝C06＋C26＋C46＋C66＝25＝32． ……………………… 3分
（2）Tn＝C03n＋C33n＋C63n＋…＋C3n3n ． ……………………… 4分
当1≤k≤n，k∈N*时，
C3k3n＋3＝C3k3n＋2＋C3k－13n＋2＝C3k－13n＋1＋C3k3n＋1＋C3k－13n＋1＋C3k－23n＋1＝2C3k－13n＋1＋C3k3n＋1＋C3k－23n＋1
＝2 (C3k－13n＋C3k－23n)＋C3k－13n＋C3k3n＋C3k－33n＋C3k－23n
＝3 (C3k－13n＋C3k－23n)＋C3k3n＋C3k－33n， ……………………… 6分
于是Tn＋1＝C03n＋3＋C33n＋3＋C63n＋3＋…＋C3n＋33n＋3
＝C03n＋3＋C3n＋33n＋3＋3(C13n＋C23n＋C43n＋C53n＋…＋C3n－23n＋C3n－13n)＋Tn－C03n＋Tn－C3n3n
＝2 Tn＋3(23n－Tn)
＝3×8n－Tn． ……………………… 8分
下面用数学归纳法证明Tn＝13[8n＋2(－1)n]．
当n＝1时，T1＝C03＋C33＝2＝13[81＋2(－1)1]，即n＝1时，命题成立．
假设n＝k (k≥1，k∈N*) 时，命题成立，即Tk＝13[8k＋2(－1)k]．
则当n＝k＋1时，
Tk＋1＝3×8k－Tk＝3×8k－13[8k＋2(－1)k]＝13[9×8k－8k－2(－1)k]＝13[8k＋1＋2(－1)k＋1]，
即n＝k＋1时，命题也成立．
于是当n∈N*，有Tn＝13[8n＋2(－1)n]． ……………………… 10分