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2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）
数 学(理科)
第Ⅰ卷(共60分)
选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
若集合，且，则集合可能是（ ）
A. B. C. D.
设为虚数单位，则满足的复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
已知双曲线，则其焦距为（ ）
A. B. C. D.
已知向量与不共线，，，则与共线的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
按右图所示的程序框图，若输入，则输出的=（ ）
A.14 B.17 C.19 D.21
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体（如图）：面为矩形，棱.若此几何体中，，和都是边长为的等边三角形，则此几何体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
在如图所示的矩形中随机投掷30000个点，则落在曲线下方（曲线为正态分布的正态曲线）的点的个数的估计值为（ ）
A.4985 B. 8185
C. 9970 D.24555
附：正态变量在区间内取值的概率分别是.
已知直线与抛物线交于两点（在轴上方），与轴交于点，，则（ ）
A. B. C. D.
已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为（ ）
A. B. C. D.
数列的前项和为，，，则=（ ）
A. B. C. D.
已知函数，给出以下四个命题：
①，有；
②且，有；
③，有；
④，.
其中所有真命题的序号是（ ）
A. ①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
第Ⅱ卷 (共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上)
已知函数，则=___________.
展开式中的系数为___________.
某班共46人，从A，B，C，D，E五位候选人中选班长，全班每人只投一票，且每票只选一人。投票结束后（没人弃权）：若A得25票，B得票数占第二位，C、D得票同样多，得票最少的E只得4票，那么B得票的票数为__________.
已知点，点是圆上的两个点，则的最大值为__________.
解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(本小题满分12分)
已知函数部分图象如图所示.
（Ⅰ）求值及图中的值；
（Ⅱ）在中，的对边分别为，已知，，，求的值．
(本小题满分12分)
“共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式。某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：
（Ⅰ）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）；
（Ⅱ）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；
（Ⅲ）若从此样本中的A城市和B城市各抽取1人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此人来自B城市的概率是多少？
附：参考数据：
（参考公式：）
(本小题满分12分)
如图，在三棱柱中，侧面底面，和都是边长为2的正三角形.
（Ⅰ）过作出三棱柱的截面，使截面垂直于，并证明；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
（本小题满分12分）
已知定直线，定点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点且与相切.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）椭圆的弦的中点分别为，若平行于，则斜率之和是否为定值？ 若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.
（本小题满分12分）
已知与的图象交于两点.
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）且的中点为，求证：.
请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡把所选题目对应的标号涂黑．
（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线与曲线交于两点，弦的中点为，求的值.
（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知正实数，函数.
（Ⅰ）若，解关于的不等式；
（Ⅱ）求证：.
2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）
数学（理科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：
1.A 2.A 3.D 4.D 5.C 6.A 7.B 8.B 9.B 10.A 11.C 12.D
11.解析：由和，可知数列唯一确定，并且，猜测，经验证是满足题意的唯一解。选C.
12.解析：易证①是真命题；由，可知②是真命题；由于在单调递增，可知③是真命题；设，则当时，，所以在单调递增，所以当时，，即；由奇函数性质可知④是真命题；选D.
二.填空题：
13.9 14.-6 15.7 16.60°
16.解析：由已知可得点在如图所示的平面区域内（包含边界）运动，易知点位于圆外，则当最大时，应有所在直线与圆相切，且点位于离圆心最近的处；此时，圆心到直线的距离，所以在中，所以，同理，此时.