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2017届湖北省普通高等学校招生全国统一考试预测密卷（一）数学文
2017高考文数预测密卷一
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分
考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.，，且，则有（ ）
A． B． C． D．
2. 若复数为纯虚数，则=（ ）
A. B.2 C. D.
3．为了了解某高中3000名高三学生是否愿意报考师范院校，从中抽取一个容量为100的样本，若采用系统抽样，则分段的间隔为（ ）
A．50 B．60 C．30 D．40
4．已知，，则=（ ）
A.2 B.-2 C. D.3
5．已知函数，若，则双曲线的渐近线的倾斜角为（ ）
A． B． C. D．
6．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据大于58，则判断框中应填入的条件可能为（ ）
A． B． C． D．
7.已知变量满足约束条件，若恒成立，则=（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
8.“”是不等式对任意恒成立的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
9．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A.54 B.162 C. D.180
10.已知的面积满足，且边上的高等于，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是（ ）
A. B. C． D．
12．已知椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为，则的最小值为（ ）
A. B． C. D．
第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-23为选做题）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）
13.已知则________.
14．已知圆C：，直线，在圆C内任取一点P，则P到直线的距离大于2的概率为_________.
15．如图所示函数（，，）的部分图像，现将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的取值范围是___________.
16．已知直线：与曲线相切，则=________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
已知数列满足，.
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）定义：表示取不超过的最大整数，若，设数列的前项和为，求证：.
18．（本小题满分12分）
2017年两会继续关注了乡村教师的问题，随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障，流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题，为此，某市今年要为某所乡村中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要2万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要5万元，已知现在该乡村中学无多余教师，为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市100所乡村中学在过去三年内的教师流失数，得到下面的柱状图：
流失的教师数
记表示一所乡村中学在过去三年内流失的教师数，表示一所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元），表示今年为该乡村中学招聘的教师数，为保障乡村孩子教育部受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘.
（Ⅰ）若=19，求y与x的函数解析式；
（Ⅱ）若要求“流失的教师数不大于”的频率不小于0.5，求的最小值；
（Ⅲ）假设今年该市为这100所乡村中学的每一所都招聘了19个教师或20个教师，分别计算该市未来四年内为这100所乡村中学招聘教师所需费用的平均数，以此作为决策依据，今年该乡村中学应招聘19名还是20名教师？
19. （本小题满分12分）
如图，平面平面，为正方形，为梯形，且 ，，平面，.
（1）证明：∥平面；
（2）证明：面面；
（3）求几何体与几何体的体积之比.
20. （本小题满分12分）
已知圆与圆 的公共点的轨迹为曲线,是曲线上关于轴对称的两点，是曲线上异于的任意一点，直线分别与轴交于点.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）试判断是否为定值，并说明理由．
21. （本小题满分12分）
已知是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求曲线在处的切线方程及函数的解析式；
（2）设，若对于任意的，函数在区间上总存在极值，求实数的取值范围.
选做题：请考生在22~23三题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）当曲线与曲线有两个公共点时，求实数的取值范围.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知不等式的解集中的最大实数为.
（1）求的值；
（2）若，求的最大值．
2017高考文数预测密卷一
参考答案
一、选择题
1.【答案】D
【解析】,，故.
考点：集合的基本运算.
2.【答案】.
【解析】，若为纯虚数，则，所以，.故选C.
考点：复数的代数运算
3．【答案】C
【解析】由于，即分段的间隔,故选C.
考点：系统抽样.
4.【答案】B
【解析】.
考点：求分段函数函数值.
5．【答案】D
【解析】关于对称,
双曲线的渐近线为：.故选D.
考点：1.三角函数的对称性；2.双曲线的渐近线方程；3.直线的斜率与倾斜角.
6.【答案】C.
【解析】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，,最后输出的数据为,所以判断框中应填入,选C.
考点：程序框图.
7．【答案】B
【解析】可行域为一个开放区域，如图其中，所以直线过点C时取最小值6，过点B时取最大值6，所以.
考点：线性规划
8.【答案】B.
【解析】，当时恒有，，解得：，区间为：.
考点：不等式恒成，充分必要条件.
9.【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体为边长为6的正方体去掉一个三棱锥后得到的几何体，所以
.
考点：三视图及几何体表面积.
10.【答案】C
【解析】，∴.
设，则
,故选C.
考点：解三角形.
11．【答案】A.
【解析】设正四面体棱长为，将翻折到同一平面内，的最小值为为的长，在中，由余弦定理可得，解得，∴该正四面体的外接球半径，体积.
考点：1．正四面体的侧面展开图；2．正四面体的外接球问题.
12.【答案】A
【解析】由题意可知，
设，则
.
考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.基本不等式；3.斜率公式.
二、填空题
13.【答案】1或-2.
【解析】由题意可知，∥，，即：，解得或.
考点：两向量共线的坐标表示.
14．【答案】.
【解析】由题意知圆C:的圆心是（1，0），圆心到直线3x-4y+12=0的距离是，
当与3x-4y+12=0平行，且在直线下方距离为2的平行直线为3x-4y+b=0，
则，则|b-12|=10，
即b=22（舍）或b=2，此时直线为3x-4y+2=0，设此直线与圆C交于A,B两点，
因为圆心到直线3x-4y+2=0的距离d=1，即三角形ACB为直角三角形，
则根据几何概型的概率公式得 .
考点：几何概型
15.【答案】
【解析】由题设中提供的图象可得,即,故；
又,所以,故,
∵∴把函数的增区间向右平移个单位得到，从而 ，
解得.
考点：正弦函数的图象和性质的综合运用．
16．【答案】0或．
【解析】，
设切点，则切线的斜率，
所以切线为，
因为直线：恒过点，斜率为，且为的一条切线，所以，
所以或，所以或，或.
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
三、解答题
17. 【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】（1）∵ ∴
即：，∴，从而数列是等差数列.
又，∴，.
（2）
.
考点：证明等差数列；裂项相消求和.
18. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）19；（Ⅲ）19.
【解析】
（Ⅰ）当时，；当时，，所以与的函数解析式为.
（Ⅱ）由柱状图知，流失的教师数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.
（Ⅲ）若每所乡村中学在今年都招聘19名教师，则未来四年内这100所乡村中学中有70所在招聘教师上费用为38万元，20所的费用为43万元，10所的费用为4 8万元，因此这100所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需费用的平均数为万元.
若每所乡村中学在今年都招聘20名教师，则这100所乡村中学中有90所在招聘教师上的费用为4 0万元，10所的费用为4 5万元，因此未来四年内这100所乡村中学在招聘教师上所需费用的平均数为万元.
比较两个平均数可知，今年应为该乡村中学招聘19名教师.
考点：函数解析式、概率与统计.
19.【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】
（1）由题意知 ∥，平面，平面，∴∥平面
同理 ∥平面, 又 从而 平面∥平面,
∴∥平面.
（2）∵平面平面，交线为CD，，
∴面，故，
设中点为，连结．不妨设，
于是在中可求得；
在直角梯形中可求得；
在中可求得；
从而在等腰，等腰中分别求得，
此时在中有，所以，
因为是等腰底边中点，所以，所以平面，
因此面面
（3）设，则
，
，∴.
考点：证明直线与平面平行，平面与平面垂直，空间几何体的体积计算.
20.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）为定值1，理由见解析．
【解析】
（Ⅰ）设⊙，⊙的公共点为,由已知得，，
故,
因此曲线是长轴长焦距的椭圆,
所以曲线的方程为；
（II）设，，，且，
∵，∴，即，
∴．同理可得．
∴，
又，，∴，，
∴，则为定值1．
考点：1、椭圆的定义及方程；2、直线与椭圆的位置关系．
21．【答案】（1），；（2）．
【解析】 （1）∵，∴，又，从而曲线在处的切线方程为：，即：.
∵当时，,当时，，，
∵是定义在上的奇函数，∴当时，,
从而.
（2）,，
在区间上总存在极值， 有两个不等实根且至少有一个在区间内
又是开口向上的二次函数，且，
由，解得，
由，
在上单调递减，所以，
，综上可得，，
所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值.
考点：1、导数几何意义；2、利用导数研究函数的极值.
22. 【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由得 ，即：，
∴曲线为以（1,0）为圆心，1为半径的圆的上半部分，从而直角坐标方程为：
.
（3）直线的普通方程为：，
当直线与半圆相切时 ，
解得（舍去）或，
当直线过点（2,0）时，，故实数的取值范围为.
考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化；直线与圆的位置关系.
23. 【答案】 (1)；(2).
【解析】（1）， 即：
由，解得，而的解集为.
所以原不等式的解集为，从而.
（2）由已知，有，
因为（当取等号），（当取等号），
所以，即，故.
考点：1.绝对值不等式的解法；2.基本不等式.