2017年高中毕业年级第三次质量预测
理科数学试题卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设命题，，则为（ ）（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.已知复数，，若复数，则实数的值为（ ）
A. B.6 C. D.
3.已知双曲线，焦点在轴上，若焦距为，则等于（ ）
A. B. C.7 D.
4.已知，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
5.设集合，，，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）
A.60 B.65 C.80 D.81
6.如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）
A. B. C. D.
7.设实数，满足，则的最大值为（ ）
A.25 B.49 C.12 D.24
8.已知等比数列，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.若实数、、，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，，当的周长最大时，的面积是（ ）
A. B. C. D.
11.四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.设函数满足，，则时，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为 ．
14.若数列的前项和为，且，则的通项公式是 ．
15.已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率 ．
16.在中，，为平面内一点，且，为劣弧上一动点，且，则的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，角、、所对的边分别是、、，已知，且.
（1）当，时，求、的值；
（2）若角为锐角，求的取值范围.
18.为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标）、推理（能力指标）、建模（能力指标）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标的值评定学生的数学核心素养；若，则数学核心素养为一级；若，则数学核心素养为二级；若，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：
学生编号
（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；
（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求随机变量的分布列及其数学期望.
19.如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.
20.已知圆与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求动点的轨迹曲线的方程；
（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.
21.已知函数，.
（1）函数，，求函数的最小值；
（2）对任意，都有成立，求的范围.
22.以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.
23.已知函数.
（1）若，使得成立，求的范围；
（2）求不等式的解集.
2017年高中毕业年级第三次质量预测
数学（理科） 参考答案
一、选择题
BDDBB AADDC CD
二、填空题
13.
14. 15. 16.
三、解答题
17．解：由题意得,.
(I) 当时，,
解得
(II)
∴,又由可得所以.
18.解：（I）由题可知：建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是.
记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，
则
（II）由题可知，数学核心素养一级：，数学核心素养不是一级的：；的可能取值为1,2,3,4,5.
∴随机变量的分布列为
1 2 3 4 5
∴.
19. 解：(I)在梯形中，∵，设，
又∵,∴，∴
∴∴.
∵，，
∴，而，
∴
∵ ∴.
(II)由(I)可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示建立空间直角坐标系，
设，令(),则(0，0，0)，(，0，0)，(0，1，0)，(，0，1)，
∴=(-，1，0)，=(，-1，1)，
设为平面的一个法向量，
由得
取,则=(1,,),
∵=(1,0,0)是平面的一个法向量,
∴
∵,∴当时，有最小值，
∴点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.
20. 解：（I）设动点，由于轴于点
又圆与直线即相切，∴圆
由题意，，得
即
将代入，得曲线的方程为
（II）（1）假设直线的斜率存在，设其方程为，设
联立，可得
由求根公式得（）
∵以为直径的圆过坐标原点，即
即
化简可得，
将（）代入可得，即
即，又
将代入，可得
∴当且仅当，即时等号成立．又由，，．
（2）若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得 同理求得
故．综上，得．
21. 解:（I）.
，令得.
①当即时，在上，递增，
的最小值为.
②当即时，在上，为减函数，在在上，为增函数.
∴ 的最小值为.
③当即时，在上，递减，的最小值为
.
综上所述，当时的最小值为，当时的最小值为,当时，最小值为.
（II）设，
.
①当时，在上，在递增，的最小值为，不可能有.
②当时, 令，解得：，此时
∴.∴在上递减.∵的最大值为，∴递减.∴的最大值为，
即成立.
③当时，此时当时，
递增，当时，递减.
∴，又由于,
∴在上，递增，
又∵,所以在上，显然不合题意.
综上所述：.
22.解：（I）由，得
曲线的直角坐标方程为
（II）将直线的参数方程代入，得
设两点对应的参数分别为，
则，，
当时，的最小值为2.
23.解：（I）
当时，， 所以 ∴
（II）即
由（I）可知，当时，的解集为空集；
当时，的解集为；
当时，的解集为.
综上，不等式的解集为.