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2017届高中毕业生五月供题
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.若复数满足（为虚数单位），则为
A. B. C. D.
3.已知变量满足，则的最大值为
A. 33 B. 32 C. 35 D. 34
4.如图是一个正方体，A,B,C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A-BCD的正视图，俯视图是（注：选项中的上图是正视图，下图是俯视图）
5.为了解某社区居民购买水果和牛奶的年支出费用与购买食品的年支出费用的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户购买食品的年支出费用为3.00万元的家庭购买水果和牛奶的年支出费用约为
A. 1.79万元 B. 2.55万元 C. 1.91万元 D.1.94万元
6.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的是
A. 15 B. 12 C. 3 D. 180
7.某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑一圈，在学生A开始跑步时，在教室内有一个学生B往操场看了一次，以后每50秒往操场上看一次，则该学生B“感觉”到学生A的运动是
A. 逆时针方向匀速前跑 B. 顺时针方向匀速前跑
C.顺时针方向匀速后退 D.静止不动
8.已知，与的夹角为，，则的值是
A. 3 B. 1 C. D.2
9.随机地取两个数，使得，则满足的概率是
A. B. C. D.
10.已知函数，若存在满足，且
，则的最小值为
A. 6 B. 10 C. 8 D. 12
11.
A. B. C. D.
12.平面过正方体的面对角线，且平面平面，平面平面，则的正切值为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.定义运算，例如，则函数的最大值为 .
14.已知，则的值为 .
15.锐角中，为的中点，满足，则角的大小关系为 .（填“”或“”或）
16.在半径为R的圆内，作内接等腰，当底边上高时，的面积取得最大值，则的取值范围是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）设数列的前项和为，若点在函数的图像上运动，其中是与无关的常数，且
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和的最小值.
18.（本题满分12分）
某班级50名学生的考试分数分布在区间内，设考试分数的分布频率是，且，考试成绩采用“5分制”，规定：考试分数在内的成绩记为1分，考试分数在内的成绩记为2分，考试分数在内的成绩记为3分，考试分数在内的成绩记为4分，考试分数在内的成绩记为5分，在50名学生中用分层抽样的方法，从成绩为1分，2分，3分的学生中随机抽取6人，再从这6人中抽出3人，记这3人的成绩之和为（将频率视为概率）.
（1）求的值，并估计班级的考试平均分数；
（2）求；
（3）求的分布列和数学期望.
19.（本题满分12分）
如图，已知正方形和矩形所在平面相互垂直，为线段上的任意一点。
（1）若是线段的中点，证明：平面平面；
（2）若为线段上任意一点，设直线与平面，平面所成角分别是，求的取值范围.
20.（本题满分12分）
已知在椭圆上，为右焦点，垂直于轴，为椭圆上的四个动点，且交于原点
（1）求椭圆的方程；
（2）判断直线与椭圆的位置关系；
（3）设满足，判断的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形面积的最大值，否则说明理由.
21.（本题满分12分）
已知（是自然对数的底数），的图象在处的切线方程为
（1）求的值；
（2）探究直线是否可以与函数的图象相切？若可以，写出切点的坐标，否则，说明理由；
（3）证明：当时，
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）求直线与曲线相交弦AB的长.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）证明：；
（2）当时，求的最小值.