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2016~2017学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数满足（为虚数单位），则的模为（ ）
A． B．5 C． D．25
2．已知为实数集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数，满足，则的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．5
4．已知函数，命题：，为偶函数，则为（ ）
A．，为奇函数 B．，为奇函数
C．，不为偶函数 D．，不为偶函数
5．为了得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．若单位向量，的夹角为，则向量与向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：
根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）
A．样本中的女生数量多于男生数量
B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量
C．样本中的男生偏爱理科
D．样本中的女生偏爱文科
9．运行如图所示的程序框图，输出和的值分别为（ ）
A．2，15 B．2，7 C．3，15 D．3，7
10．已知，为锐角，且，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线：（，）的一条渐近线为，圆：与交于，两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．曲线在点处的切线方程为 ．
14．若数列的前项和为，则数列 ．
15．已知点，抛物线：（）的准线为，点在上，作于，且，，则 ．
16．某沿海四个城市、、、的位置如图所示，其中，，，，.现在有一艘轮船从出发以的速度向直线航行，后，轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行，则收到指令时该轮船到城市的距离是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
18．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）试估计平均收益率；
（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据：
据此计算出的回归方程为.
（i）求参数的估计值；
（ii）若把回归方程当作与的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益.
19．如图，矩形中，，，在边上，且，将沿折到的位置，使得平面平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
20．已知椭圆：（）的焦距为4，左、右焦点分别为、，且与抛物线：的交点所在的直线经过.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过的直线与交于，两点，与抛物线无公共点，求的面积的取值范围.
21．已知函数，其中，，是自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）设函数，证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）曲线：（为参数，，）分别交，于，两点，当取何值时，取得最大值.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）设，且存在，使得，求的取值范围.
2016~2017学年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择题
1-5:BCBDC 6-10:AADCC 11、12：AB
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）设数列的公差为，的公比为，依题意得
解得，，
所以，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则
①
②
①-②得：
所以.
18．解：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，
取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，
平均收益率为
.
（Ⅱ）（i）
所以
（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为
万元，
当元时，保费收入最大为360万元，
保险公司预计获利为万元.
19．解：（Ⅰ）连接交于点，依题意得，所以，
所以，所以，所以，
即，，又，,平面.
所以平面.
（Ⅱ）因为平面平面，
由（Ⅰ）知，平面，
所以为三棱锥的高，
在矩形中，，，，所以，
所以
即三棱锥的体积为.
20．解：（Ⅰ）依题意得，则，.
所以椭圆与抛物线的一个交点为，
于是，从而.
又，解得
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）依题意，直线的斜率不为0，设直线：，
由，消去整理得，由得.
由，消去整理得，
设，，则，，
所以，
到直线距离，
故，
令，则，
所以三边形的面积的取值范围为.
21．解：（Ⅰ）
（1）当时，，当，；当，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，令，得，
由得，由得或，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，令，，故在上递增.
（4）当时，令，得，
由得，由得或，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增.
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
当时，在上递增.
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（Ⅱ）①且②
先证①：令，则，
当，，单调递减；当，，单调递增；
所以，故①成立！
再证②：由（Ⅰ），当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，故②成立！
综上，恒成立.
22．解：（Ⅰ）因为，，，
的极坐标方程为，
的普通方程为，即，对应极坐标方程为.
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为（，）
设，，则，，
所以
，
又，，
所以当，即时，取得最大值.
23．解：（Ⅰ）当时，不等式即，等价于
或或
解得或或
即不等式的解集为.
（Ⅱ）当时，，不等式可化为，
若存在，使得，则，
所以的取值范围为.