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河北省武邑中学2017届高三下学期第四次模拟考试 数学（文）
河北武邑中学2016-2017学年下学期高三第四次模拟考试
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．，若，则且
B．，“”是“”的必要不充分条件
C．命题“使得”的否定是“都有”
D．“若则”的逆命题为真命题
7．某一算法框图如图所示，则输出的值为（ ）
A． B． C． D．0
8．《算术法》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似为3，那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）
A． B． C． D．
9．已知某椎体的正视图和侧视图如图，则该椎体的俯视图不可能是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的图象在区间和上均单调递增，则正数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．对任意的，总有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知、为正实数，向量，，若，则的最小值为 ．
14．已知函数，则 ．
15．在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是 ．
16．已知在直角梯形中，，，，将直角梯形沿折成三棱锥，当三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知数列的各项均是正数，其前项和为，满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设（），数列的前项和为，求证：
18．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间实验.选取两大块地分成小块地，在总共小块地中，随机选小块地种植品种甲，另外小块地种植品种乙.
（1）假设，求第一大块地都种植品种甲的概率；
（2）试验时每大块地分成8小块，即，试验结束后得到的品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：）如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据实验结果，你认为应该种植哪一品种？
19．如图三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.
（1）证明：；
（2）若，，，求三棱柱的高.
20．已知直线：与椭圆：（）有且只有一个公共点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，为坐标原点，动点满足，连接交椭圆于点，求的值.
21．设函数，
（1）求在处的切线方程；
（2）证明：对任意，当时，.
22．在极坐标系下，知圆：和直线：（，）.
（1）求圆与直线的直角坐标方程；
（2）当时，求圆和直线的公共点的极坐标.
文科数学参考答案
一、选择题
1-5:CBDCC 6-10:BDADB 11、12：DA
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）由，得，解得
而，即，
可见数列是首项为2，公比为的等比数列.
；
（2），
故数列的前项和
18．解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：，，，，，.
而事件包含1个基本事件：.所以；
（2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
，
，
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
，
，
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
19．解：（1）连接，则为与的交点，因为侧面为菱形，所以.
又平面，所以，故平面.由于平面，故.
（2）作，垂足为，连接.作，垂足为.由于，，
故平面，所以，又，所以平面，
因为，所以为等边三角形，又，
可得.由于，所以.
由，且，得.
又为的中点，所以点到平面的距离为故三棱柱的距离为.
20．解：（1）椭圆的方程为.
（2）设，，又，，，.
直线的方程为.
.
.
.
21．解：（1），
，，
在处的切线方程为，即
（2）证明：
设，，
，故在内递减，在内递增
即，
当时，，
即当时，，（Ⅰ）
当时，，（Ⅱ）
令函数，
注意到，故要证（Ⅰ）（Ⅱ），
只需要证在内递减，在递增
当时，
当时，
综上，对任意，当时，
22．解：（1）圆：，即，故圆的直角坐标方程为：
，直线：，即，则直线的直角坐标方程为：
.
（2）由（1）知圆与直线的直角坐标方程，将两方程联立得解得.
即圆与直线的在直角坐标系下的公共点为，转化为极坐标为.