2017年湖北省高三四月调考
理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.若复数为的共轭复数，则
A. 0 B. 2 C. D.
2.设集合，则中的元素个数为
A.0个 B. 1个 C. 2个 D.无数个
3.设等差数列的前项和为，若，则
A. 54 B. 44 C. 34 D. 24
4.已知点为双曲线的左右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则该双曲线的标准方程为
A. B. C. D.
5.的展开式，的系数为
A. 15 B. 6 C. -6 D. -15
6.已知随机变量满足，则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
7.设均为非零向量，已知命题是的必要不充分条件，命题是成立的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上的图象如图所示，则可取
A. B. C. D.
9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则满足条件的实数的个数为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10.网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A. 2 B. 4 C. D.
11.已知实数满足，则的取值范围是
A. B. C. D.
12.过圆内一点作倾斜角互补的直线AC和BD，分别交圆于A,C,和B,D，则四边形ABCD的面积的最大值为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知正六棱锥的底面边长和高均为1，则异面直线与所成角的大小为为 .
14.已知数列为等差数列，为等比数列，且，记数列的前项和为，若，则数列的最大项为第 项.
15. 某单位植树节计划种杨树棵，柳树棵，若实数满足约束条件，则该单位集合栽种这两种树的棵树最多为 .
16.函数的值域为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）
在中，角A,B,C的对边分别为，且
（1）求；
（2）设是角的平分线，且，求.
18.（本题满分12分）
如图，长方体中，点在棱上，两条直线与平面所成角均为，与交于点O.
（1）求证：；
（2）当为的中点，且时，求二面角的余弦值.
19.（本题满分12分）
在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图:
（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求的值；
（2）现从这20名学生中任意抽取一名男生和一名女生对他们进行训练，记一分钟内跳绳次数不低于115且不超过125的学生被选上的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）.
20.（本题满分12分）
已知平面内动点P与点和点的连线的斜率之积为
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹且曲线C，过点的直线与曲线C交于M,N两点，记的面积为，的面积为，当取得最大值时，求的值.
21.（本题满分12分）已知函数
（1）证明方程在区间内有且仅有唯一实根；
（2）记表示两个数中的较大者，方程在区间内的实数根为，若在内有两个不等的实根，判断与的大小，并说明理由.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系
以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为曲线的极坐标方程为，正方形ABCD的顶点都在上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为
（1）求点C的直角坐标；
（2）若点P在曲线上运动，求的取值范围.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）若的最小值为4，求实数的值；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.