《数学分析》考试大纲
一、考查目标
使学生系统地获得微积分的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法,并注意培养学生比较熟练的运算能力﹑抽象思维能力﹑逻辑推理能力﹑几何直观和空间想象能力,从而使学生得到运用数学分析法解决几何﹑力学和物理等实际问题, 掌握数学分析的基础理论与方法,为学习数学专业的所有后续课程打下基础。
二、考查内容
(一) 函数、极限、连续
1、函数:函数概念,函数的四则运算,函数的图象,数列,有界函数,单调函数,奇函数与偶函数,周期函数,复合函数,反函数,初等函数。
2、极限:极限思想,数列极限概念,收敛数列的性质及四则运算,数列的收敛判别法,子数列。函数的极限,自变量趋向有限值时函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,函数极限的性质,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在判别法。无穷小,无穷大,无穷小的比较。
3、函数的连续性:函数的连续性概念,间断点及其分类,连续函数运算及其性质,闭区间上连续函数的性质。反函数的连续性与初等函数的连续性。
4、实数的连续性:闭区间套定理,确界定理,有限覆盖定理,聚点定理,致密性定理,柯西收敛准则。闭区间连续函数性质的证明,一致连续性。
(二)一元函数的微分学
1、导数概念:导数定义,求导举例,导数的几何意义。函数的可导性与连续性之间的关系。
2、函数求导:导数的四则运算,复合函数的求导法则,反函数的求导法则,初等函数的导数。隐函数的求导法则,参数方程求导法则。
3、函数的微分:微分的定义,微分的几何意义,微分的运算法则和公式。
4、高阶导数与高阶微分:高阶导数,Leibniz公式,高阶微分。
5、中值定理与导数的应用:罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理。罗必塔法则,泰勒中值定理。函数和曲线性态的研究。函数图形的描绘。最大值最小值问题。
(三)一元函数的积分学
1、不定积分的概念与性质:原函数与不定积分的概念,基本积分表,不定积分的性质。
2、换元积分法:第一类换元积分法,第二类换元积分法。
3、几种特殊类型函数的积分:有理函数积分,简单无理函数积分,三角函数有理式积分。
4、定积分的概念:定积分问题举例,定积分定义。定积分的性质,定积分中值定理。
5、可积准则:大和与小和,可积准则,三类可积函数。
6、定积分的计算:按照定义计算定积分,积分上限函数,定积分的基本公式。定积分的换元法,定积分的分部积分法。
7、定积分的应用:定积分的微元法,平面区域的面积(直角坐标情形、极坐标情形),平面曲线的弧长(直角坐标情形,参数方程的情形,极坐标方程的情形),平行截面面积为已知的立体的体积,旋转体体积,变力作功。
(四)无穷级数
1、数值级数:数值级数收敛与发散的概念,收敛级数的性质。同号级数,变号级数,绝对收敛级数的性质。
2、函数级数:函数级数的收敛域,一致收敛概念,一致收敛判别法,函数列的一致收敛,和函数的分析性质。
3、幂级数:幂级数的收敛域,幂级数和函数的分析性质,泰勒级数,基本初等函数的幂级数展开。幂级数的应用。
4、傅立叶级数:傅立叶级数,两个引理,收敛定理。奇偶函数的傅立叶级数,周期为
(五)多元函数微分法及其应用
1、多元函数的基本概念:平面点集,坐标平面的连续性,多元函数概念。二元函数的极限,二元函数的连续性。
2、多元函数微分法:偏导数,全微分,可微的几何意义。复合函数微分法,方向导数。
3、二元函数的Taylor公式:高阶偏导数,二元函数的Taylor公式,二元函数的极值。
4、隐函数:隐函数概念,一个方程确定的隐函数,方程组确定的隐函数。
5、函数行列式:函数行列式的概念与性质,函数行列式的几何性质。
6、条件极值:条件极值与Lagrange乘数法,条件极值举例。
7、隐函数存在定理在几何上的应用:空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线。
(六)反常积分与含参变量的积分
1、无穷积分:无穷积分收敛与发散概念与性质,无穷积分与级数,无穷积分的敛散性判别法。
2、瑕积分:瑕积分收敛与发散概念,瑕积分的敛散性判别法。
3、含参变量积分:含参变量的有限积分。含参变量的无穷积分。Γ函数与B函数。
(七)多元函数的积分学
1、二重积分:曲顶柱体的体积与二重积分,二重积分的性质,二重积分的计算,二重积分的换元,曲面面积。
2、三重积分:三重积分的概念,三重积分的计算,三重积分的换元,三重积分的简单应用。
3、曲线积分:第一型曲线积分,第二型曲线积分,第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系,格林公式,曲线积分与路径无关的条件。
4、曲面积分:第一型曲面积分,第二型曲面积分,奥高公式,Stokes公式。